正倒向随机微分方程次优控制粘性解方法之研究

This project focuses on near optimal control for systems governed by forward-backward stochastic differential equations (FBSDEs for short) and related topics. Since the nonsmoothness is inherent in this subject, viscosity approach is employed to investigate the relationships among the value function, the adjoint equations and Hamiltonian along optimal trajectories. Unlike the classical case, the definition of viscosity solution contains certain perturbation factor. In addition, we study the near optimal control verification theorem which plays an important role in constructing near optimal feedback control. At last, we will discuss the near optimal control of FBSDEs applied in financial fields. As an application, a kind of stochastic recursive near optimal control problem is given to illustrate our theoretical results as well.

本项目旨在探讨正倒向随机微分方程驱动的次优控制及其相关问题。基于值函数非光滑性质，项目借助于粘性解理论来刻画在次优轨道下值函数、伴随方程以及哈密尔顿函数之间的关系。与经典情形不同，此时定义的粘性解含有摄动因子。此外，我们研究相应的次优控制验证定理，这个定理在构造次优反馈控制方面发挥重要作用。最后，项目将探讨正倒向随机系统次优控制在金融等领域的应用并提供线性递归效应的例子。

项目研究正倒向驱动的随机微分方程相关控制问题，主要有以下几个方面：.第一方面：在系统中加入奇异控制，推导出H-J-B不等式。这个不等式中含有一个值函数偏导数的约束项，称其为自由边界。在一定的条件下，我们给出该不等式的在粘性解意义下，解的存在唯一性证明。.第二方面：根据大数定律确定状态平均值并给出了一个辅助随机控制问题。利用庞特里亚金最大值原理实现分散最佳状态解决上述辅助随机控制问题，通过凸分析我们能够使用所谓的投影映射。最后，在限制成本函数与成本函数在微扰控制的帮助下，我们可以得到期望的结果。.第三方面：项目首次运用带摄动参数粘性解上（下）微分来研究正倒向随机次优控制问题，从而建立伴随方程与值函数摄动上（下）微分之间的联系。通过经典的艾克兰变分原理，我们建立值函数导数与伴随方程之间的关系，同时讨论当引入二阶粘性解的时候，如何应用艾克兰变分。在成果中我们给出一个例子，并给出反馈控制。.第四方面：研究了负责人在2011年提出的一个问题：如何给出当控制区域非凸，扩散项含有控制变量的双重随机控制系统最优控制的必要条件？为此，从倒向系统终端关于正向方程的泰勒展开入手，定义一个新的差分方程，进而证明最优轨道与摄动轨道之间的估计，引出一阶二阶变分方程，最后建立最优控制最大值原理。.第五方面：项目考虑两类奇异最优控制问题，正则控制和奇异控制。漂移项和扩散项都可能涉及正则控制变量，控制域假设为凸集。在Malliavin积分的框架下，导出了经典意义上随机的点态二阶必要条件。在粘性解意义下，导出了奇异控制的一个验证定理。最后，在函数值足够光滑的假设下，我们讨论了最大值原理与动态规划原理之间的联系。.第六方面：研究了一类无限区间正倒向重随机微分方程。在一些单调假设下，利用同伦方法得到了可测解的存在唯一性结果，并给出了一类随机偏微分方程组与代数方程组解的概率解释。这个结果的一个重要特征是FBDSDEs的前向分量与后向变量耦合。