随机微分对策与 Hamilton-Jacobi 方程粘性解问题的研究

This project intends to study several stochastic differential games with unbounded controls by using Bellman's dynamic programming principle. All the arguments of this project will be carried out with the unbounded control domains and without relying on the convexity or concavity of the corresponding Hamiltonians. We will investigate the jobs on the following aspects: (i) The existence and uniqueness of the viscosity solutions to upper and lower Hamilton-Jacobi equations respectively, which corresponding to two-person zero-sum stochastic differential games. To get the existence of the value function of such stochastic differential games under the Isaacs condition. (ii) The existence and uniqueness of the viscosity solutions to upper and lower Isaacs equations with obstacle respectively, which corresponding to two-person zero-sum stochastic differential games with reflection and related obstacle. To get the existence of the value function of such stochastic differential games. Then we will give a comparison between our conclusions and the classical results. Also, some examples will be given to show that the problems of this project are sharp in some sense.

本项目旨在利用 Bellman 动态规划方法研究控制集无界的几类随机微分对策问题及相应的 Hamilton-Jacobi 方程的粘性解的存在唯一性。在允许控制集无界的情况下，并且相应的 Hamilton 函数不具有凸性或凹性时，开展如下研究：(i) 二人零和随机微分对策问题相应的 Hamilton-Jacobi 方程的粘性解的存在唯一性，并在 Isaacs 条件成立时，建立随机微分对策问题值函数的存在性；(ii) 具有反射障碍的二人零和随机微分对策问题及相应的具有障碍算子的 Isaacs 方程的粘性解的存在唯一性。最后将研究结果与经典情形比较，并举例说明本项目拟研究问题的先进性。

本项目主要研究的是随机微分对策问题及应用。理论部分工作主要是利用 Bellman 动态规划方法研究控制集无界的相应的 Hamilton-Jacobi 方程的粘性解的存在唯一性。在允许控制集无界的情况下，并且相应的 Hamilton 函数不具有凸性或凹性时，我们研究了具有反射障碍的二人零和随机微分对策问题及相应的具有障碍算子的 Isaacs 方程的粘性解的存在唯一性。给出了相应的微分对策问题值函数的存一性。而当代资源和生态环境问题日益突出，因此生态系统的可持续开发等问题成为重要的研究课题，如果将微分对策问题中的其中一个控制项取为零则相应的问题简化为最优控制问题。针对我们所研究的随机微分对策的理论结果的一个重要应用就是讨论如何“多、快、好、省”地可持续开发随机生态种群系统、污染环境下随机生态系统保护等问题。因此，对几类具有时滞的随机生物种群模型动力学行为进行研究，构造合理的生物种群模型。研究每个种群模型灭绝和持续、依分布稳定性以及最优捕获策略，并且分析白噪声、时滞和Lévy噪声对最大持续产量的影响。最终构造符合假设条件的数据用Matlab软件进行仿真来论证结论的合理性。相关研究成果能够在一定程度上为有关部门的决策管理提供科学依据，有较高的应用价值。同时，利用Leray-Schauder's 非线性选择法讨论分数阶p-Laplacian问题解的存在性和分数阶Kirchhoff型问题解的存在性问题。本课题研究成果共在SCI源期刊上发表论文6篇,并且相关后继研究工作仍在继续。