关于复域差分方程和微分方程的研究

This project is devoted to studying the analytic property and dynamics behavior of meromorphic solutions of complex difference equations and complex differential equations. Difference equations and differential equations have many useful applications in the fields such as physics, chemistry, medicine, biology and economy. Recently, due to the Nevalinna theory and the difference analogue of some important lemmas, there has been a lot of interest in complex difference equations. The existence of meromorphic solution with hyperorder less than one is a good indicator that the equation is of Painlevé property. Now they are still in the initial stage. Since there are some new progress and many interesting oscillation problems in complex differential equations, the study of complex differential equations always attracts people’s attention. Complex dynamical system is one key and attractive object in modern mathematics research. There are already some results in the complex dynamics of differential equations. However, there is few study in complex dynamics of difference equations, so the related research is potential. In addition, we will discuss the exact solutions of non-linear complex differential equations and their application in the Nevanlinna theory, also investigate the meromorphic solutions of delay differential equations. The project will deepen the study of difference equations and differential equations in complex plane, so it is significant in both theory and application.

本项目研究复域差分方程和微分方程亚纯解的解析性质和动力学行为。差分方程和微分方程在物理、化学、医学、生物和经济等多个领域都有着重要的背景和应用。近年来，随着Nevanlinna理论的引入，陆续得到一些重要引理的差分模拟，复差分方程受到越来越多的关注。具有超级小于1的亚纯函数解是二阶非线性差分方程具有Painlevé性质的良好指标，目前的研究仍处于初始阶段。 复微分方程的研究最近取得新的进展，而且振荡理论方面仍存在着较多有趣问题，使得关于它的研究一直受到关注。复动力系统是当今数学的主流方向之一，它和复微分方程相结合的研究已有了一定成果，但复差分方程解的动力学行为目前研究得还较少，是有潜力的。我们还试图寻找非线性复微分方程的亚纯解形式及其在Nevanlinna理论中的一些应用，并尝试讨论延迟微分方程。本项目将深化拓展对复域差分方程和微分方程的相关研究，具有重要的理论意义和应用价值。

差分方程和微分方程在物理、化学、医学、生物和经济等多个领域都有着重要的背景和应用，本项目综合利用复分析中的理论和方法主要研究了复域上差分方程和微分方程，重要结果涉及亚纯解的解析性质、动力学行为和渐进状态：.(1)引入增长级和对数级的有益补充phi级，细致讨论了亚纯函数和q-差分算子性质，并研究线性q-差分方程的零级亚纯解增长性质；.(2)系统讨论了Jackson差分算子的Nevanlinna理论，并用于研究线性q-差分方程亚纯解的对数级和零点对数收敛指数，以及某些q-特殊函数的对数级；.(3)发现差分Riccati方程的所有亚纯解构成一个由三个已知解表示的单参数函数族，并探讨了Pielou logistic方程亚纯解的偏移算子、差分算子分布性质；.(4)考虑了线性差分方程的binomial series形式解，并利用这类解构造出反例说明“有理系数的差分Riccati方程所有超越亚纯函数解的增长级不小于1”的猜想不成立；.(5)对于适定的正数b，找到一个线性微分方程存在解以零为其Nevanlinna亏值且b为该解的增长级，同时得到一个涉及Valiron亏值和对数级的类似结论；.(6)系统讨论了Tumura-Clunie型非线性微分方程，其中等号右端的项满足有理系数两阶线性微分方程，得到亚纯解的可能形式和分布性质、渐进行为；.(7)利用超越方向来研究Julia集中点的径向聚集方向，基本解决亚纯函数Julia极限方向的反问题，并得出一类微分方程解的Julia极限方向集测度下界，同时判断出另一类微分方程解不存在Baker游荡域；.(8)细致刻画了指数多项式的零点计数函数的渐进表示式，另外通过shifting zero，考虑了差分形式的abc猜想和费马型函数方程的差分版本；.(9)对指数函数族和余弦函数族的逃逸参数，进行了Hausdorff维数和测度研究，并讨论一类无穷下级的非B类整函数的Julia集和逃逸集。