随机递归非零和微分对策Nash均衡的存在性

Existence of Nash equilirium is always a key issue in research of differential games. The achievements in deterministic differential games are relatively mature, but some meaningful achievements have also been made in stochastic differential games. Along with the development of backward stochastic differential equations, their solutions can now be used to describe the payoff function of games. These stochastic recursive differential games provide a novel way for us to ponder over and solve a problem, and help to deeply understand the characteristics and nature of value functions. Thereby, we can discuss the existence of Nash equilibrium in stochastic differential games. This study will be based on the clue of combining the theories of differential games and backward stochastic differential equations. We mainly studied the nonzero-sum stochastic differential games that were most like practical problems such as economy, military affairs and management. The main contents include:(1)We will study the existence of Nash equilibrium for stochastic recursive nonzero-sum differential games.(2)We will study the HJBI equation and Nash equilibrium in information asymmetry games.

微分方程理论作为数学的重要分支，推动着许多新的科学领域的发展。其中，微分对策是近年尤为受关注的实用研究，而Nash均衡的存在性一直是微分对策中最重要的问题。确定性微分对策相应的结果已经相对成熟，而在随机微分对策的研究中亦有一些重要的成果。由于倒向随机微分方程理论的发展，现可用倒向随机微分方程的解来描述对策的支付函数。这种可将微分对策转化成正倒向随机常微分方程的随机递归微分对策是一新的思考与解决问题的方式，有助于对值函数的特点与性质进行更深入的认识，进而探讨随机微分对策Nash均衡的存在性。本项目正是基于将微分对策理论与倒向随机微分方程理论相结合的思想，主要研究与经济，军事，管理等实际问题更为接近的非零和随机微分对策问题。内容包括：（1）研究随机递归非零和微分对策Nash均衡的存在性。（2）在信息不对称的情况下，研究随机非零和微分对策HJBI方程的粘性解及Nash均衡。

微分方程理论是数学的重要分支之一，并随实际需要不断发展，带动了许多新的科学研究方向。目前较为受经济学，军事学等关注的是微分对策问题。诺贝尔经济学奖已有四次颁发给对策论的相关成果。而在军事学上，微分对策最早就是起源于空战追击问题。现今，地区冲突，大国博弈，无时无刻都在利用对策论的思想和成果来解决争端。经典的随机微分对策考虑的是如何认识一个客观存在的随机过程，强调从现在出发在有干扰的情况下，达到均衡的状态。而用倒向随机微分方程的解来描述对策的支付函数，可将微分对策转化成微分动力系统的随机递归微分对策是一新的思考与解决问题的方式。项目组立项的基本要求和目标即是将微分对策理论与倒向随机微分方程理论相结合。讨论值函数的特点与性质，进而证明随机微分对策Nash均衡的存在性。从项目立项准备到结题，项目组按照年度研究计划依次对研究内容进行分析讨论。在项目研究前期，主要学习最新发表的随机微分对策及倒向随机微分方程的科研论文，以了解和掌握最新的学术动态。在项目研究中期，得到支付函数为倒向随机微分方程定义的非零和随机微分对策值函数的动态规划原理证明，讨论值函数是HJBI方程粘性解的证明方法，给出均衡存在的充分必要条件。在项目研究后期，得到信息不对称下随机微分对策值函数是HJBI方程粘性解的证明方法，给出均衡存在的充分必要条件。在整个项目执行过程中，项目组利用项目成果还构建了经济与国防资源均衡分配模型，并给出多人及分层微分对策的反馈均衡解。讨论了当前时期政府如何有效的分配资源，使得在稳固国防建设的同时，可以大力发展经济。该模型合理地模拟了现今的反恐问题，实现对政府资源分配的管理。