超平面构型，Coxeter群以及Artin群的拓扑

The theory of hyperplane arrangements lies in the intersection of algebraic geometry, topology, representation theory, singularity theory, hypergeometric functions, Lie theory and combinatorics. In particular, the theory of Coxeter arrangements has strong connection with the topological theory of Coxeter groups and Artin groups. This proposal aims at the study of the topology of complements of hyperplane arrangements, with a priority on those related to Coxeter groups and Artin groups, as well as the establishment of the framework of a generalization of arrangement theory, unifying several existing arrangement theories. To be precise, we shall use Garside theory and higher categorial representations to revisit the K(pi,1) conjecture, in an attempt to obtain a uniform proof for the K(pi,1) conjecture for affine type Artin groups. We also propose to establish the connection of K(pi,1) conjecture with higher categorial representations of Artin groups, providing a brand new viewpoint to this long-standing conjecture. On the other hand, we generalize the theory of hyperplane arrangements, toric arrangements and so on, reaching a new arrangement theory called abelian Lie group arrangements. We define the G-Tutte polynomials to encapsulate their topological and enumerative information, generalizing ordinary and arithmetic Tutte polynomials.

超平面构型理论是当今代数几何、拓扑、表示论、奇点理论、超几何函数、Lie理论、组合学等交叉领域中的一个前沿课题，其中的Coxeter构型理论与Coxeter群、Artin群的拓扑学关系密切。本申请致力于研究超平面构型补空间的拓扑理论，尤其是与Coxeter群、Artin群相关的拓扑，以及建立构型理论的一般化框架，统一几种常见的构型理论。具体地说，本研究使用Garside理论、高阶范畴表示来重新审视Artin群的K(pi,1)猜想，尝试对仿射型Artin群的K(pi,1)猜想给出统一的证明，并尝试建立K(pi,1)猜想与Artin群的高阶范畴表示之间的关系，用来给出K(pi,1)的重新叙述和全新观点。另外我们确立一种统一超平面构型、环面构型等构型理论的新型构型，阿贝尔李群构型，并定义其G-Tutte多项式，用来捕捉其拓扑和组合性质，将已有的Tutte多项式，算术Tutte多项式等统一刻画。

本项目对超平面构型理论及其相关的拓扑和组合理论开展研究。.主要研究内容有从超平面构型的Milnor纤维的同调挠元引发的，针对超平面构型补空间的局部系数同调群与其复叠空间同调群的关联研究；对超平面构型的和乐李代数（holonomy Lie algebra）进行一般化，定义并研究几何格/拟阵的和乐李代数。.重要结果及关键数据包括探明了极小CW复形1阶局部整系数同调与其二重复叠空间整系数同调群的关系，其应用解决了Yoshinaga等人提出的超平面构型的相关问题(arXiv:2209.14535v1)；几何格的和乐李代数的研究则将多数超平面构型的情形成功推广，尤其是对一种称为可解对的几何格对的和乐李代数结构给出了完整刻画，可应用到包括对超可解的有向拟阵以及超可解超平面构型的众多情形(arXiv:1908.05826v2)。.科学意义在于加深了对超平面构型Milnor纤维，超平面构型补空间，以及其复叠空间之间关联的理解；另外也启发了未来更多的研究课题，比如还能将哪些超平面构型的结论推广至更一般的拟阵这类丰富的大问题。