Coxeter群的组合性质

The combinatorics of Coxeter groups is an important research topic in the area of algebraic combinatorics. In this project,we will aim to study the combinatorial properties of Coxeter groups, mainly including:.1.The computation of Kazhdan-Lusztig polynomials and R-polynomials. The Kazhdan-Lusztig polynomials and the R-polynomials are the core objects in the Kazhdan-Lusztig theory of Coxeter groups. Concerning this topic, we will aim to establish the connections between these two polynomials and the classic combinatorial structures, which will lead to new combinatorial rules for the computation of these two polynomials. Besides, we will explore new combinatorial tools to find Kazhdan-Lusztig and R-polynomials that have explict close formulas. .2.The combinatorial properties of hyperplane arrangements associated to Coxeter groups. We will pay our main attension to hyperplane arrangements associated to the Coxeter groups of types A and B. Our aim is to establish the connection between the connected regions partitioned by these hyperplanes and the classic combinatorial structures (for example, tree, partition, lattice path, etc.), and thus investigate their enumerative properties.

Coxeter群上的组合学是代数组合领域中的重要研究内容之一。在本项目中，我们将研究Coxeter群的组合性质，主要包括：.1. Coxeter群的Kazhdan-Lusztig 多项式与R-多项式的计算。Kazhdan-Lusztig多项式与R-多项式是Coxeter群的Kazhdan-Lusztig理论中的核心研究对象，针对该课题我们拟探讨这两类多项式与经典的组合结构之间的联系，给出它们的组合计算法则。此外，我们将发掘新的组合技巧用于寻找具有封闭表达公式的Kazhdan-Lusztig与R-多项式。 .2. 与Coxeter群相关的超平面排列的组合性质。我们将重点研究A型与B型Coxeter群相关的超平面排列。我们的目标是建立此类超平面所划分的连通区域与经典的组合结构（例如：树、分拆、格路等）之间的联系，进而研究它们的组合计数性质。

Coxeter 群上的组合学是代数组合领域的重要研究内容之一。在本项目中，我们研究了几个与Coxeter 群相关的结构的组合性质，取得的进展主要包括：.（1）发现了Kazhdan-Lusztig R-多项式的反演公式的组合证明。R-多项式的反演公式是D. Kazhdan（哈佛大学教授、美国科学院院士）与G. Lusztig（MIT教授、美国科学院院院士、 2014年邵逸夫奖得主）在其创立著名的Kazhdan-Lusztig理论的过程中建立的，组合学家F. Brenti提出了寻求R-多项式反演公式的组合证明这一公开问题。我们通过构建 R-多项式反演公式的组合模型，完成了该反演公式的组合证明。.（2）研究了n-维超立方体的 n-维子多面体（即：0/1-多面体）在其对称群（即：B-型Coxeter群）作用下的分类计数。该问题是由G.M. Ziegler（2002年国际数学家大会45分钟报告邀请人）倡导研究，他认为这是离散几何中非常具有挑战性的问题。宗传明教授在其发表在Bull. Amer. Math. Soc.的综述文章中，也将其列为超立方方向的基本问题之一。此前，五维0/1-多面体是能够彻底计数的极限。通过运用组合学与代数学的工具，我们给出了一个研究这个问题的新方法，并成功解决了六维0/1-多面体的计数，从而将该问题的研究向前推进了重要的一步。.（3）利用研究代数几何问题中引入了结构和算法，解决了分别由A. de Mier和J.S. Kim提出的两个组合猜想。A.S.Buch在其发表在顶级数学期刊Acta Math.上的研究Grassmannian代数簇的组合性质的文章中引入了rook strip这一组合结构。此后，Buch与合作者又引入了Hecke算法用于研究Grassmannian代数簇的性质，Hecke算法与Coxeter群的Hecke代数有密切的关系。基于以上结构和算法，我们定义了徘徊Hecke杨表这一组合结构，并建立了该组合结构与联接划分的一一对应关系。作为推论，我们证明了分别由de Mier和Kim提出的联接划分与集合划分的交叉数目和嵌套数目对称分布的猜想。