模空间上的若干重要问题以及与自守形式的联系

In algebraic geometry, moduli spaces are constructed to parameterize algebraic objects, which is widely related to mathematical physics, number theory, complex geometry and many other fields. In the past century, moduli space has proved itself to be one of the core areas of mathematics, and it is also the major achievement of the Fields medal winner David Mumford. This project aims to solve and generalize a series of important problems raised by Mumford in the study of topology and intersection theory of moduli spaces. For the first time, we will systematically establish connections between those questions on moduli spaces of holomorphic symplectic manifolds, Fano manifolds or some Calabi-Yau manifolds, and some frontier area of mathematic research, such as number theory and automorphic representation theory; after transfering the problems into the questions related to automorphic forms of orthogonal or unitary groups, we can solve these problems by making use of the current rapid development of Kudla conjecture, Theta correspondence and Arthur trace formula. The applicant has made a lot of important progress in the study of moduli spaces of K3 surfaces and cubic fourfolds, which is published on the international top journal Invent.Math., so it is expected to achieve a substantial breakthrough in these subjects.

在代数几何中，模空间是被用来参数化代数对象的一种构造，它与数学物理、数论、Teichumuller理论等诸多领域有广泛的联系。在过去一个世纪中，模空间被证明是数学的核心领域之一,也是著名数学家David Mumford获得菲尔兹奖的主要工作。本课题旨在解决并推广Mumford在模空间的拓扑和相交理论中所提出的一系列重要问题。我们将首次在全纯辛流形，Fano流形和部分Calabi-Yau流形等模空间上系统性地建立这些问题与数论及自守表示论等前沿学科的联系；在将问题转化为正交群或酉群自守形式上的相关问题后，利用目前这些领域中得到飞速发展的Kudla猜想，Theta对应和Arthur迹公式等先进理论研究并解决这些问题。申请人在 K3曲面和四维三次超曲面等模空间的研究上已取得许多重要成果，并发表在国际顶级数学杂志Invent.Math.上，因此有望在这些问题上取得实质性突破。

本项目主要通过数论中的志村理论和表示论中的自守表示研究代数几何中模空间理论上的若干重要问题，同时通过模空间理论解决代数几何中的相关问题。在项目执行期间，项目研究人员按计划成功建立了志村簇与一些模空间的联系，解决了有关超凯勒簇和阿贝尔簇上的模空间一些基本问题，其中包括tautological环的构造和同调tautological猜想；通过志村理论和几何不变量理论解决了6阶K3曲面模空间的紧化问题和四维三次超曲面模空间紧化的相交上同调群的计算问题；在几何应用方面，研究人员通过模空间中的提升理论研究了超奇异代数簇上的性质，解决了目前已知的几类超奇异超凯勒簇上的广义Artin猜想。本项目基本完成了项目目标，共完成发表和接受论文7篇，待发表论文2篇，其文章发表在Duke. Math. Journal, Math. Research Letter 和 Int Math Res Notices等国际重要期刊上。