分数阶扩散方程中几类反问题的理论分析与反演算法研究

Compared with the classical diffusion model, the fractional diffusion equation was presented as an efficient model for describing the non Markovian diffusion processes in various fields, e.g., porous media, polymer materials, laser cooling, and environmental engineering because of its nonlocality. However, when considering fractional diffusion equation as model equation in analyzing anomalous diffusion processes, some important parameters in the model, for example the orders of the fractional derivative or the source term, are often unknown and difficult to be directly measured, which requires one to use inverse problems to identify these physical quantities from some additional information that can be observed or measured practically. The uniqueness results on the inversion for orders of the fractional derivatives and the source term respectively have already been established by the applicants provided the initial value of the diffusion system is known. On the basis of the existing works, this project aims to investigate several kinds of parameter inversion problems for the fractional diffusion equation from theoretical and numerical aspects, including establishing the relevant theory of the direct problem of the fractional diffusion equation, analyzing the well-posedness of the inverse problems of determining the fractional order as well as the simultaneous inversion of the fractional order and the source term, finally, proposing iterative regularization algorithm to reconstruct the unknown parameters. Expected results should be the starting point for further researches concerning the related inverse problems in engineering technology.

与经典扩散模型相比，分数阶扩散方程所具有的非局部性使其在描述诸如多孔介质渗流，高分子材料，激光致冷，环境工程等领域中的非马尔科夫扩散过程时表现出了独特优势。然而在实际中，模型中的一些重要参数（如分数阶阶数或者源项）往往未知且难以通过直接测量得到，这迫使我们采用反问题方法重构未知参数。在系统初始值已知的假设下，项目组前期分别就分数阶阶数反演及源项反演问题给出了唯一性结果。在现有工作基础上，本项目旨在建立分数阶阶数反演以及分数阶阶数与源项双参数反演问题的适定性理论并建立高效算法。课题组拟首先对该扩散方程正问题的相关理论进行科学研究，借此展开对阶数反演和阶数与源项双参数反演的适定性分析（稳定性与唯一性），尤其是系统初始值未知情形下的双参数反演，最后设计正则化迭代算法重构未知参数。本课题研究结果将为解决工程技术中的相关反问题奠定理论和技术基础。

分数阶扩散方程在诸如多孔介质渗流、高分子材料、激光致冷、环境工程等领域中有着广泛应用。但该模型是唯象模型，其中的分数阶参数在实际中通常由实验数据拟合得出，上述实验方法往往难以保证精确性。.本项目以近年来引起广泛关注的分数阶扩散方程为研究对象，在分数阶参数未知的情形下，对几类参数反演问题的理论基础与算法进行了系统性的研究。具体内容包括：建立了该扩散方程正问题的相关理论，并借此展开了对分数阶阶数反演、源项以及势函数反演的适定性分析，最后设计正则化迭代算法重构未知参数。在项目执行期间，我们取得了若干重要成果。我们按照项目执行时间分成前中后总结如下：.1.前期阶段，主要对分数阶扩散方程的正问题进行了一系列的研究，研究工作包括证明了解的存在唯一性以及稳定性估计，并且证明了解的相关性质，例如，时间解析性，解的长时间以及短时间渐进行为，唯一延拓性等。.2.中期阶段，我们主要针对势函数反演进行了相关研究。我们提出通过单次测量进行势函数及阶数反演。具体地，我们构造了一个特殊的边界输入，然后我们测量其对应的部分边界的通量数据。并利用解析性与拉普拉斯变换理论成功的证明了边界上的单次测量数据能够唯一重构势函数。这在国际上属首次。.3.后期阶段，我们主要针对反源问题以及迭代算法进行了系统的研究。利用内部一点观测数据对时间依赖的源项进行了反演。为此我们建立了原方程与热方程解之间的联系，并利用热方程的强极值原理证明了反源问题的唯一性。最后我们设计了正则化迭代算法进行了相关数值模拟。..由于本项目所提出的反问题能够更加准确的反演分数阶参数，从而扩散系数及源项的反演较以往变得更加精确。本项目的成功实施将对实际应用具有重要的理论指导意义。最后，借助于我们的数值算法，在一定程度上以数学方法与数值模拟来代替高成本的实地操作和大量的数据整理工作，节省人力物力。