与Alexandrov几何相关的一些基本问题

Alexandrov geometry plays more and more important role in differential geometry. In this program, there are several basic aspects related to Alexandrov geometry to be researched: 1. On 2-dimensional Alexandrov geometry (including area comparison and Gauss-Bonnet formula); 2. On the subsets in Alexandrov spaces with curvature bigger or equal to 1(including \pi/2-separate subsets and the module spaces of Join)；3. On the Soul Conjecture in Alexandrov geometry；4. On the boundary in Alexandrov geometry (including Boundary Conjecture); 5. On the quasigeodesics in Alexandrov geometry; 6. On the extremal subsets in Alexandrov geometry; 7. On the applications of Alexandrov geometry in Riemannian geometry (especially on fundamental groups of manifolds with non-negative sectional curvature).

Alexandrov几何在微分几何中发挥的作用越来越大(被应用于解决Poincaré猜想)，因而越来越受到大家的重视。基于此，本项目主要从如下几个大致方向对与Alexandrov几何相关的问题展开研究：1. 2维的Alexandrov几何(面积比较和Gauss-Bonnet公式)；2. 曲率大于或等于1的Alexandrov空间上的子集（包含有关 \pi/2-分离子集和Join的模空间问题）；3. Alexandrov几何中的Soul 猜想；4. Alexandrov几何中的边界（包含边界猜想）；5. Alexandrov几何中的拟测地线；6. Alexandrov几何中的极值子集；7. Alexandrov几何在黎曼几何中的应用（主要是有关非负截面曲率流形基本群的问题）。该项目已经有了扎实的研究基础，因此可行性很大。

本项目主要围绕曲率具有下界的 Alexandrov 几何中一些基本和重要的问题展开研究，比如：曲率大于或等于1的Alexandrov空间上重要子集的性质以及这种空间中Join的模空间结构问题；Alexandrov几何中的Soul 猜想；Alexandrov几何中的边界问题； Alexandrov几何中极值子集的相关问题。该结题报告主要对取得的科研成果进行报告，将分已经发表，已经完成未发表和正在完成的科研成果来报告对该项目的完成情况。. 在已经发表的科研成果中，最为具有代表意义的有两项工作。一个是对曲率大于或等于1的Alexandrov空间中\pi/2-分离子集元素个数上界估计做了一个重要的补充工作，并得到了相应的刚性结果。另外一个是利用基本的方法得到了一个等距的复射影空间定理。. 在已经完成未发表的工作中，一项重要的工作是证明了4维情形时Alexandrov几何中的Soul 猜想，这可以说是在该项目执行期间得到的最为重要的科研成果。另一项重要的工作是对曲率大于或等于1的Alexandrov空间中Join的有限模空间结构完成了分类刻画，这项工作不仅对解决4维情形时Alexandrov几何中的Soul 猜想提供了良好的研究基础，而且还有希望开辟一个新的研究方向。还有，我们得到了Alexandrov几何中Toponogov定理的一个新而又容易理解的证明。. 在正在完成的工作中，我们发现了曲率具有下界的 Alexandrov 几何中比极值子集更为适合刻画Alexandrov 几何与黎曼几何异同的概念——拟凸子集，我们已经对这种子集有了很好的研究和刻画，而且相信这是非常值得研究的一类子集。. 总而言之，在该项目的资助之下，我们近四年内在Alexandrov 几何上的研究取得了一定的科研成果（得到了同行专家们的认可），也衍生了一些有意义的新问题。虽然该项目期限已到，我们会将继续研究该项目未完成的和衍生出的问题。最后衷心感谢国家自然科学基金委对我们科研工作的大力支持。