黎曼流形及Alexandrov空间的一些问题

本项目拟进行以下几方面的研究: 1.正曲率流形的拓扑, 包括正曲率偶数维闭流形的欧拉示性数(关于Hopf猜想)和 正曲率奇数维闭流形的基本群(关于戎小春教授的一个猜想). 2 Alexandrov空间的比较定理, 包括特殊Alexandrov空间- - 黎曼流形的面积比较, 一般Alexandrov空间的面积比较以及其它比较定理的推广. 3.非正曲率流形的分裂结构, 注要研究Ricrank小于流形维数的非正曲率流形是否具有分裂结构. 4. 正曲率流形的塌陷(关于Yamaguchi的一个猜想). 5. 空间型中子流形的Minkowski类积分公式, 以及闭超曲面的刚性定理. 这些大都是与其它数学分支联系密切，引人关注的问题。其研究需要综合运用代数，几何，拓扑，分析等多方面的工具和方法，很有意义，值得进一步研究。