Alexandrov 空间上的几何分析

This proposal is concerned with the geometry of Alexandrov spaces. Alexandrov spaces are a class of geometric objects which allow the existence of singularities. Tradictionally, Alexandrov geometry is belong to the field of comparison geometry. Up to now, most studies of Alexandrov geometry are based on comparison and synthetic methods. In this project we will emphasize on the analytic method in the study of Alexandrov geometry. We will study the geometric meaning of the Ricci curvature on Alexandrov spaces; we will try to establish Hodge theory on Alexandrov spaces; we will develop the theory of nonlinear partial differential equations on Alexandrov spaces; and we will also try to get the geometric and topological classification of three-dimensional Alexandrov spaces.

本项目研究Alexandrov空间几何。Alexandrov空间是允许存在奇异集的.几何对象。传统上，Alexandrov空间几何属于比较几何的范畴。现有的大部分研究均利用公理化和比较几何的手段。在本项目中我们提出以分析为主要手段研究Alexandrov空间几何。我们拟研究Alexandrov空间Ricci曲率的几何含义；拟建立Alexandrov空间上的Hodge理论；拟展开Alexandrov空间上非线性偏微分方程的研究；试图给出三维Alexandrov空间的几何和拓扑分类。

本项目主要研究 Alexandrov 空间上，以及更一般度量测度空间上的的几何分析。Alexandrov 空间是一个不光滑的几何研究对象。. 由于丘成桐，萧荫堂，Gromov 等人的工作，发现调和映射理论在数学中的极大应用。Gromov-Schoen发展了一个从光滑流形到非正曲 Alexandrov 空间的调和映射理论。 1997年，林芳华和 Jost 独立地开展了 Alexandrov 空间之间的调和映射研究，并证明从曲率有下界Alexandrov空间到非正曲率 Alexandrov空间的能量极小映射具有Holder正则性。据此，林芳华提出猜测：从曲率有下界 Alexandrov 空间到非正曲率 Alexandrov 空间的能量极小映射具有局部 Lipschitz 正则性。在本项目中，我们完全证明了这一猜测。. 热流是最基本的几何分析对象之一。在最近10年以来，由于 Sturm, Lott-Villani等人的先驱性的工作, 使得在度量空间上，几何分析成为一个研究热点。许多经典的光滑流形上的结果，在非光滑空间上多有推广。我们在非光滑度量空间上的热流的研究，取得了进展。. 另一方面，在本项目的资助下，我们团队也展开对 Einstein 场方程的研究。 Einstein 场方程是广义相对论中用来描述时空演化的基本方程。在2008年，Christodoulou 首先用严格的分析的办法证明了在真空 Einstein 场方程的演化中，陷俘面能够从不含任何陷俘面的特征初值上形成。陷俘面是广义相对论的一个重要的概念，Penrose 奇点定理保证了陷俘面的存在会导致时空出现奇点。本项目负责人的一名博士生黎俊彬与人合作在《Ann. of Math.》发表文章证明了陷俘面能够从不含任何陷俘面的柯西初值演化出来。宇宙监督假设猜想是数学广义相对论中的最重要问题之一，粗略来说，它保证所有的奇点都会隐藏在黑洞中。这个问题可以转化为研究类光无穷远的完备性。我们获得对类光无穷远开性的证明。