Alexandrov 几何中的若干问题及非负截面曲率流形的基本群

在近二十年内，Alexandrov几何结合Gromov-Hausdorff收敛理论在微分几何中发挥了巨大的作用（应用于解决Poincaré猜想），进而越来越受到几何学家的关注，而且成为公认的新而有力的工具。本项目主要从下面三个部分展开研究工作。1、与Alexandrov几何相关的问题：受Toponogov比较定理启发的面积比较问题；2、Alexandrov几何中的问题：曲率有下界的Alexandrov空间间的几乎等距、淹没问题，平行移动和第二变分公式问题，边界猜想问题；3、Alexandrov几何的应用（一个主要的新工具是Alexandrov空间上的的半凹函数及其梯度）：研究关于具有非负截面曲率流形的基本群的猜想。其中有些问题已经部分解决，本项目的可行性很大。

本项目的一个重要背景是在近二十年内，Alexandrov几何结合Gromov-Hausdorff 收敛理论在微分几何中发挥了巨大的作用（应用于解决Poincaré猜想），进而越来越多的几何学家对其加以关注和研究。本项目主要围绕Alexandrov 几何从与Alexandrov几何相关的问题、Alexandrov几何中的基本问题、Alexandrov几何的应用这三部分入手展开研究。虽然有些目标没有实现，但可喜的是我们取得了一定的科研成果，这些成果有些已经被知名的数学杂志发表，比如Math. Ann., Comm. Cont. Math., Asian J. Math.等。下面我们列举几个我们取得的重要成果。1、受Toponogov比较定理及对Alexandrov几何研究的启发，我们给出了一个面积比较定理（成果1）；2、我们给Burago-Gromov-Perel’man 关于曲率有下界的Alexandrov空间的奠基性文章中一个重要定理的证明找到了一个漏洞，并给出了新的证明（成果2）；3、我们证明了曲率具有下界的Alexandrov空间中基本而又重要的例子—Cone、Suspension及Join —在分割为两个曲率有同样下界的Alexandrov空间时，这种分割是可以严格分类的（成果4）；4、我们发现在曲率下界为1的Alexandrov空间中，\pi/2 分离子集的信息可带来有趣的几何刚性性质（成果5）；5、我们证明了在曲率下界为1的Alexandrov空间M中如果有两个无边的完备局部凸子集满足维数之和比M的维数少1，而且这两个子集间点点间的距离都为\pi/2，那么M必然是由某个Join模掉一个有限等距群而得来（成果6）。这些结果都是较为有趣的，而且在得到这些成果的研究过程之中我们找到了一些新的研究方向，为下一步的研究工作打下了坚实的基础。