p-Laplace算子Fucik谱理论及其相应跳跃非线性问题的多解性

The Fucik spectrum theory is an important tool to study the jumping nonlinear problems, and now has been widely applied in the field of partial differential equations. Based on nonlinear functional analysis theory, p-Laplace equations as research object, this project concerns p-Laplace operator spectrum and its property and mainly studies the Fucik spectrum property of p-Laplace operator equations and the existence and multiplicity of solutions . In theory, by sub-sup solution, critical point theory, Morse theory, we will study the existence conditions of the regions (I) and (II) of Fucik spectrum. And this will support better theoretical principle for study of solutions for p-Laplace equations. . The research of this project, not only enriches and develops theory of Fucik spectrum of Laplace operator, but also provides a better theoretical support for the multiplicity of p-Laplace equations.

Fucik谱理论是用于研究跳跃型非线性问题的重要工具，目前已被广泛应用于偏微分方程中。本项目以Fucik谱理论为背景，基于非线性泛函分析的理论基础，以p-Laplace算子方程为研究对象，围绕p-Laplace算子谱及其性质，重点研究p-Laplace算子Fucik谱曲线性质，p-Laplace方程解的存在性和多解性问题。理论上，利用上下解方法，临界点理论，Morse理论等技巧研究p-Laplace算子Fucik谱曲线所围成的(I)型区域和(II)型区域存在性条件，以其为研究p-Laplace方程解的问题提供更好的理论基础。. 本项目研究是Laplace算子Fucik谱理论的丰富和发展，将为p-Laplace算子多解性问题的研究提供更好的理论支持。

本项目以p-Laplace算子方程为研究对象，重点研究了具有跳跃非线性项和非光滑位势（半变分不等式）的p-Laplace算子方程。 以Fucik谱理论为背景，基于非线性泛函分析和非光滑泛函分析的理论基础，以上下解方法，临界点理论，Morse理论等技巧为工具，围绕p-Laplace算子谱及其性质，分别刻画了p-Laplace算子Fucik谱曲线的结构及具有跳跃非线性项和半变分不等式的p-Laplace算子方程的解集构成方式。对于具有跳跃非线性项的p-Laplace算子方程，利用由上同调指数构造的一列特征值，从而构造了谱集中一条非平凡曲线，为进一步研究p-Laplace算子谱的结构奠定了基础； 基于Morse理论和变分方法，考虑(a, b)落在 p-Laplace算子Fucik谱曲线不同区域时，研究具有Dirichlet边值条件的相应跳跃非线性问题非平凡解的存在性。对于具有半变分不等式的p-Laplace算子Robin边值问题，基于非光滑临界点理论，通过变分方法和构造合适的上下解，获得了至少三个非平凡解，其中一个正解，一个负解，以其为研究p-Laplace方程解的问题提供更好的理论基础。