几类超椭圆积分零点个数问题的研究

This project is mainly devoted to investigate the Chebyshev property of complete hyperelliptic integrals of the first kind when the ovals of the hyperelliptic Hamiltonian is of genus two and the number of zeros of Abelian integrals for several hyperelliptic Hamiltonian functions of degree six under cubic polynomial perturbation. The work in this project are intimately related to the study of the weak Hilbert's 16th problem proposed by the mathematician V.I. Arnold. Concretely, the main content can be generalized as the following:.1) We investigate the Chebyshev property of complete hyperelliptic integrals of the first kind when the corresponding hyperelliptic curves around only one center is non-exceptional family. .2) By combining the Chebyshev criterion for Abelian integrals and the asymptotic expansions of Melnikov function, we make a complete study on the number of zeros of Abelian integrals for several hyperelliptic Hamiltonian systems with degenerated ploycycle under cubic polynomial perturbation. .3) We study the Chebyshev property of complete hyperelliptic integrals of the first kind for degenerate families of ovals which are the boundary points of the bifurcation diagram of hyperelliptic Hamiltonian systems.

本项目拟研究沿亏格为2的超椭圆曲线定义的第一型完全超椭圆积分的Chebyshev性质以及几类六次超椭圆Hamilton函数在三次多项式小扰动下的Abel积分零点个数问题，这是与数学家V.I. Arnold提出的弱化Hilbert第16问题密切相关的研究课题，具有重要的理论意义。具体地，主要研究内容包括：1）研究当五次超椭圆曲线是只围绕一个中心的非例外族时，沿其定义的第一型完全超椭圆积分是否一致具有Chebyshev性质；2）考虑几类具有退化多角环的六次超椭圆Hamilton函数在三次小扰动下的Abel积分零点个数，拟利用一阶Melnikov函数在退化多角环附近的渐近展开式与Chebyshev性质的代数判据得到Abel积分零点个数的精确估计；3）研究当六次超椭圆曲线的参数在系统的分支曲面上变动时，对应的第一型完全超椭圆积分是否一致具有Chebyshev性质。

本项目的研究内容主要包括超椭圆Hamilton系统在多项式扰动下的Abel积分零点个数问题以及流体力学方程组解的适定性问题两部分。第一部分研究内容与数学家V.I. Arnold提出的弱化Hilbert第16问题密切相关，我们利用Chebyshev性质的代数判据与一阶Melnikov函数在退化多角环附近的渐近展开式证明了以下结果：1)一类具有单参数b以及联接两个双曲鞍点异宿环的对称六次Hamilton系统在对称扰动下的Abel积分构成一个ECT系统，即该系统从未扰系统的周期环域最多分支出2个极限环。2)几类沿亏格为2的超椭圆曲线定义的第一型完全超椭圆积分具有Chebyshev性质。第二部分研究内容与Navier-Stokes方程组解的适定性密切相关，我们利用能量方法并通过Sobolev插值和嵌入不等式得到以下结果：1)非均匀不可压缩Navier-Stokes方程组在大外力以及小初值条件下整体光滑解的存在唯一性。2)Maxwell本构方程下的可压缩Navier-Stokes方程组小初值条件下整体强解的存在唯一性以及某些大初值条件下光滑解的爆破。