几类扰动可积系统的Abel积分零点个数和分支图及其应用

In this project, we will study the zeros of Abelian integrals associated with some perturbed integrable systems. The main mathematical tools are chosen from classical theories and new methods in differential equations and dynamical systems with the aid of symbolic computation and geometric analysis. Firstly, we will study the asymptotic expansions of the Abelian integral near the endpoints of the periodic annulus for some non-Hamiltonian systems, and investigate its structure of coefficients and build the bifurcation theorems; Secondly, we use the algebraic method combined with the new techniques to study the least upper bound on the number of zeros of the Abelian integrals for some quadratic systems, and obtain bifurcation graphs; Thirdly, we will study the bifurcation graphs of three-parameter perturbation of higher order Hamiltonian systems, especially for the truncated systems with co-dimension 5 bifurcation; Finally, we will apply the results, methods and theories to study the nonlinear wave equations with weak dissipation effects, and establish the existence and coexistence of periodic, solitary and Kink waves.

本项目拟利用微分方程与动力系统中的经典方法与最新方法，借助于相关的多项式代数符号计算和几何分析结合新技巧，通过研究Abel积分零点个数问题研究若干可积系统小扰动的极限环分支问题。一是研究可积非Hamiltonian系统对应的Abel积分在环域边界的渐进展开式，给出展开式相关系数结构，提出分支定理； 二是利用已有理论，如Chebyshev方法结合新思路新技巧，结合经典方法，研究若干可积二次系统，三次系统的Abel积分零点个数较小上界建立分支图，探究可积非Hamiltonian系统判定Abel积分至多一个零点（即Abel比率具有单调性）的新方法；三是研究高次Hamiltonian系统的一般扰动(特别是三项情况)的分支图，重点针对高余维的横截系统；四是把研究结果、理论和方法应用到含有小参数耗散项的非线性波方程的孤立子和周期波的存在性和共存性问题。

本项目围绕弱化希尔伯特第十六问题，研究几类高次哈密顿系统的扰动分支问题及其应用问题。1）深入研究周期环域附近的Abel积分渐近展开式，建立了渐近展开式、Chebyshev判据、合并生成元技巧相结合的方法，研究Abel积分零点个数问题。利用此方法，分析证明了一类四次、五次含退化奇点的超椭圆哈密顿系统的零点个数精确上界，一类七次对称超椭圆哈密顿系统的Abel积分零点个数上确界。2）引入数学机械化中的多项式边界理论到微分方程定性理论的相关研究，利用Abel积分之比单调性判据，与多项式边界理论证明了一类含单参数Abel积分之比单调性，给出了前辈关于这个问题猜想的肯定回答；对一类含单参数对称七次系统的Abel积分之比单调关于参数依赖区间的范围划分。3）探究出利用渐近展开式和精度为1的Chebyshev判据相结合的方法，分析三参数扰动系统的Abel积分零点个数分支图。得到了两类三参数扰动系统的Abel积分零点个数分支图。4）利用Abel积分方法，充分利用上述得到的方法与技巧，研究一类弱耗散潜水波方程的周期波存在问题，及一类固体力学中的转子周期震荡问题，给出了不同振幅周期波存在的条件，及共存条件。