流体力学边界层的数学理论

In this proposal, we will study the mathematical theory of boundary layers in flows systematically; especially focus on the stability of the Prandtl boundary layers. First, we shall study the general theory of the two-dimensional Prandtl boundary layer equations, and analyze the fundamental solutions of the Prandtl boundary layer operators, the regularity and formation of singularities of solutions to the Prandtl boundary layer equations. Second, we establish the general well-posedness theory and the long time behavior of solutions to the Prandtl equations, and analyze the character in the separation of boundary layers. Afterwards, we consider the behavior of boundary layers near non-smooth boundaries, and obtain the boundary layer theory for flows around a body. Third, we aim to establish the mathematical theory of the small viscosity limit and the stability of boundary layers. Then, we study the well-posedness and stability of the three-dimensional Prandtl boundary layer equations by investigating the influence of secondary flows. Furthermore, we shall study the boundary layers in compressible flows, and analyze the interaction of the viscous layers and thermal layers. From the study of this project, we shall have a deep understanding of the Prandtl boundary layers, and gradually establish a general theory of the Prandtl boundary layer stability. Moreover, it shall push forward the analysis of nonlinear partial differential equations, and the development of the mathematical theory in fluid mechanics.

我们将系统研究流体边界层问题的数学理论，重点关注Prandtl边界层的稳定性。研究二维Prandtl边界层方程的一般理论，分析Prandtl边界层算子的基本解、Prandtl方程解的正则性与奇性形成；建立Prandtl方程定解问题的适定性和长时间性态，以及边界层分离的数学理论；研究流场在非光滑物面处的边界层，建立绕流的边界层理论；建立粘性流场小粘性极限的严格数学理论与Prandtl边界层的稳定性；研究三维不可压Prandtl边界层方程的适定性与稳定性，分析二次流对三维Prandtl边界层的稳定性作用；分析可压粘性流的边界层问题，建立可压流速度粘性层与热流层的干扰理论等。通过此研究将深刻理解Prandtl边界层性态，逐步建立Prandtl边界层稳定性的数学理论，促进非线性偏微分方程理论与方法的研究，推动流体力学数学理论的发展。

在此项目中，我们重点研究了流体边界层问题的适定性与稳定性、粘性流到无粘流极限的数学理论、多相流界面的稳定性、流体力学方程的适定性与激波解的稳定性、辐射输运方程的高效数值格式等问题。建立了三维Prandtl边界层方程在切向流场方向关于法向不变的结构性条件及顺压梯度作用下整体弱解的存在性，得到了不可压粘性层与温度层的干扰问题、地球物理边界层方程分别在有限阶Sobolev空间与解析函数空间中解的存在性与Blowup结果，得到了非稳态边界层在逆压梯度作用下发生回流的理论结果，分析了边界层方程弱解的正则性，建立了稳态不可压粘性流小粘性极限的Prandtl边界层展式的有效性及各类粘性流收敛到无粘流的Kato准则等。得到了弹性对不可压粘弹性流界面的瑞利-泰勒（RT）稳定性的影响、磁场对不可压两相流界面的RT不稳定性的影响、三维可压等熵无电阻MHD方程组帕克问题的稳定性等的数学理论。分析了亚音速管道流、超音速管道流、具有大通量流动的Leray问题、Poiseuille流在有旋流中的结构稳定性、Boussinesq方程与Navier-Stokes方程的弱解、流固耦合问题适定性等数学理论。得到了高维楔体绕流的跨音速激波、二维与三维管道流的跨音速激波、定常正激波解的非定常稳定性、三维轴对称管道跨音速激波的结构稳定性等数学结果。构造了辐射输运问题的高效数值格式、依赖于频率的辐射输运过程的高效计算格式、辐射流体力学方程渐进保持的气体动理学格式等，并通过数值实验说明数值格式的高效性。这些成果在国内外重要刊物上发表67篇论文，另有17篇已完成待发表。.在项目执行期，先后组织召开边界层数学理论及相关主题学术会议4次，在国内外产生重要影响，23人次参与组织偏微分方程及其应用其它学术会议，每位成员数十次在国内外召开的学术会议上作邀请报告，与国内外同行进行了广泛的交流与合作研究，提高了研究成果的国际影响；培养了10位博士后出站与8位博士毕业，指导在站博士后9位、在读博士生12位。.部分研究成果先后获教育部自然科学奖一等奖1次、二等奖2次及中国工程物理研究院科技创新二等奖1次。