若干多尺度流动问题的理论分析与数值模拟

The study of multi-scale phenomena in complex flow motion is of great importance in many applications. The global behavior of the flow motion is affected by the properties at different scales. In this project, we study two classical multi-scale problems: the high Reynolds number boundary layer problem and the two-phase fluid-solid interface problem. We will study the behavior of the high Reynolds number boundary layer by multi-scale analysis. The results will provide some guidance for the development of the efficient numerical scheme for the high Reynolds flow. We shall also study the mathematical theory of the problem of the moving contact lines in multiphase flow, and develop efficient algorithms for the numerical simulation of the problems. For the two immiscible fluids moving on a general solid surface, we shall study the motion of the interface, the behavior of the contact angle (contact line), and establish a systematical mathematical theory of the moving contact line problem by investigating the interaction of the viscous boundary layer and the interface layer in the vicinity of the contact line. For the multiphase flow on a rough surface with periodic structure, we are going to study the asymptotic behavior by homogenization and to derive an effective boundary condition. We shall also develop the efficient algorithms for the phase field simulation of the moving contact line and analyze the stability and convergence of the numerical algorithms. This study will also put forward the development of the mathematical theory and numerical methods for the equations of fluid mechanics, and provide some useful mathematical tools for the application of fluid mechanics field.

很多复杂流动具有多尺度因素，流动性态取决于多尺度因素的作用。本课题将研究高雷诺数流体在边界附近的流动和多相流在固壁附近的流动这两种典型的多尺度问题和算法设计。对高雷诺数绕流，探讨流动中边界层的性态，分析边界层中密度、温度的变化；建立边界层渐近性态的数学理论和稳定性分析；为边界层的数值模拟提供理论根据。其次对多相流在固壁上的流动，研究移动接触线的数学理论和有效算法。对在一般表面运动的两个不混溶流体，分析粘性边界层和界面层的相互作用，分析分界面运动、接触角（线）的性态，建立接触线运动问题的数学理论；研究周期结构粗糙固壁上接触线运动的渐近行为和均匀化分析；分析结果将对发展移动接触线相场模拟的高效算法提供依据。我们还将分析算法的稳定性与收敛性，建立两相流移动接触线相场模拟的数学理论。此研究将发展流体力学方程组的数学理论和方法，为流体力学理论的应用研究提供有用的数学工具。

此项目重点研究了流体力学边界层的渐近行为和稳定性分析,空气动力学涡叶的稳定性分析，多相流、移动接触线问题的数学理论和有效算法等。发现了研究二维Prandtl边界层方程适定性的能量方法，在切向流场单调性假设下，建立了二维不可压Prandtl方程定解问题的适定性和稳定性理论；分析了三维Prandtl边界层剪切流的稳定性条件，建立了一类三维Prandtl边界层的稳定性理论以及它整体弱解的存在性，这是三维Prandtl边界层研究领域中第一个较完整的数学理论，回答了Oleinik提出的一个公开问题；分析了等熵可压流Prandtl 边界层方程的数学理论,和不可压极限；对可压对称非等熵粘性流，得到了速度边界层与温度层的渐近行为及相互作用的稳定性理论。建立了二维磁流体力学方程组一类涡片线性稳定的充要条件，证明了磁场对原本不稳定的涡片具有稳定性效应；建立了一类三维超音速接触间断的稳定性理论，分析了此三维接触间断与高频振荡波的干扰理论。对界面由Cahn-Hilliard方程带松弛边界条件刻画的数学模型，得到了整体解的存在性，分析了分界面的运动，得到接触角与接触点的运动规律；对于自由流区域与多孔介质区域之间的输运现象，基于Brinkman模型提出了单区域的研究方法，对自由流区域与多孔介质区域之间薄的过渡层进行了数值模拟，分析了它与传统的带BJS条件的双区域上的Darcy-Stokes模型之间的误差，得到单区域模型是双区域Darcy-Stokes模型很好的近似；我们对移动接触线问题的相场模型设计了一套高效的数值方法；对固体表面运动的三相流的动力学行为给出了一个相场模型，它用带广义Navier边界条件的Cahn-Hilliard方程与NS方程耦合来刻画，通过发展自适应网格加密(AMR)技巧来求解此问题；对在液体-液体表面的水滴、 四相接触角的形成、固体表面水滴的动力学行为等给出了数值模拟；基于三相流的 Cahn-Hilliard 方程模型研究了三相流的运动，通过多尺度分析导出了三叉点与接触角的动力学规律。此项目发表在包括JAMS, ARMA, SIAM, JCP, JDE等有重要影响的刊物上20多篇学术论文。