流体力学方程的数学理论

The investigation on the mathematical theories of the equations arising in fluid mechanics has been one of the focused problems in applied mathematics for a long time. Here, the Navier-Stokes equations and the models describing the physical processes of mixture of gas and liquid are two typical examples. These models derive from and have extensive applications to the areas of aeronautics、aerodynamics、engineering、physics、material science、astrophysics、plasma、semiconductor、scientific calculation etc. In particular, whether global existence of smooth solutions to the incompressible Navier-Stokes equations with large data is an open problem in this area and it is also one of the seven millennium problems raised by Clay Mathematics Institute. Therefore, the study on these models are significant in both theory and application. This project is to conduct a systematic and deep investigation on the following problems: the global existence、blowup criterion of smooth large solutions to the compressible Navier-Stokes equations and some related models with vacuum, the global existence and blowup criterion of smooth large solutions to the incompressible Navier-Stokes equations and some related models, the properties of solution to two phase fluid models. Moreover, we will also study the vanishing viscosity limits and the boundary layer problems for these models.

以Navier-Stokes方程组为典型代表的流体力学方程组以及气体-液体两相混合物模型等，由于在航空航天、空气动力学、工程物理、材料科学、天体物理、等离子物理、半导体物理、科学计算等应用领域有着广泛的应用，其数学理论的研究一直是国际数学界长期关注的焦点问题之一。特别是关于三维不可压缩Navier-Stokes方程组整体光滑解是否存在，更是本领域的焦点问题，这一问题也是美国Clay数学研究所公布的七个著名千禧问题之一。因此，对这类问题的研究，既有重要的理论意义，也有重要的应用价值。本项目拟围绕具有真空的可压缩Navier-Stokes方程组及相关模型整体光滑大解的存在性和爆破准则，不可压缩Navier-Stokes方程组及相关模型整体光滑大解的存在性和爆破准则，两相流方程组解的性态等开展系统深入的研究，在此基础上还将考虑相应的粘性消失极限问题和边界层问题。

以Navier-Stokes方程组为典型代表的流体力学方程组以及气体-液体两相混合物模型等，由于在航空航天、空气动力学、工程物理、材料科学、天体物理、等离子物理、半导体物理、科学计算等应用领域有着广泛的应用，其数学理论的研究一直是国际数学界长期关注的焦点问题之一。特别是关于三维不可压缩Navier-Stokes方程组整体光滑解是否存在，更是本领域的焦点问题，这一问题也是美国Clay数学研究所公布的七个著名千禧问题之一。因此，对这类问题的研究，既有重要的理论意义，也有重要的应用价值。本项目按计划研究了可压缩Navier-Stokes方程组、不可压缩Naiver-Stokes方程组、两相流方程组以及其它相关问题的数学理论，取得了一系列研究成果，在SCI源期刊上发表和接受发表论文82篇，发表和接受发表论文的杂志包括：“Advances in Mathematics”、“Arch. Rational Mech. Anal.”、“Trans. Amer. Math. Soc.”、“Math. Models Methods Appl. Sci.”、“SIAM J. Math. Anal.”、“J. Funct. Anal.”、“J. Math. Pures Appl.”、“Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire”、“Math. Z.”、“J. Differential Equations”、“Indiana Univ. Math. J.”等，研究成果受到国内外同行的广泛关注和引用，引发了一系列的后续研究。