粘弹性流体力学的数学理论研究

This project is concerned with the mathematical problems of the viscoelastic fluids of Oldroyd-B model. The problems under considerations are: The instability and stability of some steady states for the 3D nonhomogeneous incompressible viscoelastic fluids driven by gravity in a bounded domain with slip boundary condition; The global existence and large time behavior of the weak solutions for the nonhomogeneous incompressile viscoelastic fluids and the compressible viscoelastic fluids if the initial data are of small energy; The global existence of weak solutions for the homogeneous incompressible viscoelastic fluids if the initial data are of finite energy. Our study will devote to resolve some important open problems for the viscoelastic fluids. The results, techniques and methods obtaining from the study of the above problems will not only enrich and perfect the mathmatical theory for the viscoelastic fluids, but also provide the mathematical theoretical basis and instruction for practical research on physics. Therefore, the study of this project has important theoretical significance and the potential applications in physics.

本项目主要研究粘弹性流体方程组中的Oldroyd-B模型。具体内容包括：在重力作用下，三维有界光滑区域非齐次不可压粘弹性流体方程组强解的Rayleigh–Taylor稳定性及不稳定性；非齐次不可压粘弹性流体方程组和可压粘弹性流体方程组在满足初值的能量充分小的条件下，整体弱解的存在性及大时间行为；齐次不可压粘弹性流体方程组弱解的存在性。本项目的研究力争对粘弹性流体方程组一些同行关心的数学理论问题有所突破。通过对这些问题的深入研究所得到的结论、技巧和方法不但会丰富和完善粘弹性流体方程组的数学理论，而且还能为粘弹性流体在物理的实践研究上提供数学理论依据和指导。因此，本项目的研究具有重要的数学理论价值和和广泛的物理应用背景。

流体力学方程中有无数有趣而且有意义的的偏微分方程问题值得研究很探讨。本项目主要研究两类重要的的方程组：可压缩Navier-Stokes方程组和粘弹性流体方程组。关于上述两类方程的整体解的最佳衰减估计的研究，已有的大部分工作集中在‘’光滑初值‘’问题上，至于‘’非光滑初值‘’问题，至今还有很多重要的问题未得到解决。我们在已有结果的基础上发展新的思想、技巧和方法，深入地研究其数学结构和特性，为推动其数学理论的基础和应用研究作出一些贡献。比如我们利用低频高频分解、傅里叶分析、带权能量估计等证明了具有不连续初值可压缩Navier-Stokes方程组整体小能量弱解的最佳衰减估计。