Domain与Quantale理论的模糊化研究

本项目的主要目的是研究模糊Domain理论中的若干问题并建立恰当的模糊Quantale理论。建立和刻画模糊偏序集的并完备化，讨论模糊偏序集范畴与模糊完备格范畴之间的关系。研究模糊Dcpo的代数性，证明某些模糊Domain范畴是笛卡尔闭的。讨论模糊Dcpo中网的模糊Scott收敛及其与模糊Scott拓扑的关系问题，使得网的模糊Scott收敛与已有的L-滤子的模糊Scott收敛相协调。建立模糊Domain的模糊抽象基表示，在此基础上讨论模糊Domain理论与模糊信息系统之间的联系。分别建立模糊代数格的基于形式概念分析模糊背景的概念格表示和基于粗糙集理论模糊背景的概念格表示，并讨论它们之间的关系。给出模糊Quantale的恰当定义。讨论一些模糊Quantale范畴的性质。探讨模糊序半群到模糊Quantale的嵌入，模糊序半群的模糊Quantale完备化等问题，以及它们分别所构成的范畴之间的关系。

Domain理论由D.Scott在20世纪70年代初提出,其目的是为理论计算机科学中程序设计语言的指称语义学建立数学基础。序和拓扑的相互结合、相互作用是它的基本特征。正是这一特征使Domain理论成为理论计算机科学与数学研究者共同感兴趣的领域。Quantale是由C.J.Mulvey在1986年研究非交换的C*代数时首先引入的，其目的在于给量子力学提供新的数学模型。由于Quantale具有良好的序结构和代数结构，它同样受到了理论计算机领域和数学领域诸多学者的关注。近些年，模糊序理论与各种格结构密切结合与相互渗透，并取得了很多深刻的结果。本项目主要研究模糊 Domain理论中的若干问题并建立恰当的模糊 Quantale理论。在模糊Domain理论中，我们给出了模糊偏序集的并完备化的定义，证明了这种完备化具有万有性，给出了一个模糊偏序集的Dedekind–MacNeille完备化的范畴特征。在寻找模糊Domain范畴的笛卡尔闭子范畴方面，利用模糊定向偏序集范畴中的收缩-嵌入对概念，证明了模糊连续格范畴和模糊代数格范畴分别是模糊Domain范畴的两个笛卡尔闭子范畴。关于Quantale的模糊化研究方面，引入了模糊Quantale的概念，证明了模糊Quantale范畴同构于Ω-代数范畴(Ω是交换的单位Quantale)。给出了模糊Quantale范畴中的极限的具体结构,同时证明了该范畴是完备范畴。关于序半群的Quantale 模糊化问题，在序半群上介绍了Quantale 模糊子集及序Quantale 模糊点的概念，证明了任一个序半群可以嵌入到一个Quantale 中，并在序半群范畴和Quantale 范畴之间建立了一个函子。关于格值Quantale的性质研究,证明了一个Ω-序半群的Ω-quantale完备化在同构意义下完全由它的拓扑模糊闭包算子决定。基于Ω-范畴理论，研究了带有相容Ω-范畴结构的代数结构，这些代数结构可以看作是相关序代数结构的模糊化。从这一观点出发，我们系统的研究了Ω-群胚和Ω-半群,像理想、同态、剩余的Ω-群胚等基本概念被相应发展。Domain与Quantale理论本身作为格论中的重要分支，有较大的理论研究价值和较好的应用前景，对它们的模糊化研究必将进一步推动Domain和Quantale理论的深入发展。