基于非幂等Quantale的模糊Domain的研究

Fuzzy Domain Theory is a study of quantitative domains by means of fuzzy posets. The existed results are mostly established on a complete Heyting algebra as the truth value table. The aim of this project is to generalize the truth value table to a non-idempotent, commutative and unital quantale. We plan to use the quantale-valued fuzzy convergence structure to induce and study fuzzy Scott topology, then study Moore-Smith-type Scott convergence of certain fuzzy filters and fuzzy nets, establish the related Papert-Papert-Isbell duality, and finally establish the equivalence between denotational semantics and logical semantics of non-deterministic possibility computation...These contents in fact are not duplicates of that by existed results or methods to fuzzy domains. Those fuzzy Scott open sets even can not form a fuzzy topology if we still use fuzzy ideals to define them directly. The inducting way by quantale-valued convergence structures seems an effective alternative way to the fuzzy Scott topology. There will be big differences between the inducing way and the direct way in the whole research process...The researches will have some mutual applications with fuzzy convergence structures, quantale-valued topology, fuzzy quantale and quantale algebra, and will infuse new energies to Quantitative Domain Theory, Fuzzy Topology and Theoretical Computer Science.

模糊Domain是指基于模糊偏序集的量化Domain。本项目拟将模糊Domain的取值格从目前的完备Heyting代数扩展为非幂等的交换单位quantale，利用quantale值收敛结构导出的方式定义和研究模糊Scott拓扑，研究基于模糊滤子和模糊网的Moore-Smith型Scott收敛，并建立相应的Papert-Papert-Isbell对偶等价性，研究基于此的非确定型可能性计算的指称语义和逻辑语义的等价性。.上述内容并非是已有结果和方法的简单重复，原有的利用模糊理想定义的模糊Scott开集在新的格值情况下甚至无法构成一个模糊拓扑，后续研究过程也将与已有方法基本不同。.本项目的相关研究成果将与模糊收敛结构、quantale多值拓扑、模糊quantale、quantale代数等内容发生交叉应用，为量化Domain理论和格上拓扑学以及理论计算机科学的发展注入新的活力。

本项目的目的是将模糊Domain的取值格扩展为非幂等交换单位quantale，利用quantale值收敛结构导出的方式定义和研究模糊Scott拓扑，研究基于模糊滤子和模糊网的Moore-Smith型Scott收敛，并建立相应的Papert-Papert-Isbell对偶等价性，研究相应的非确定型可能性计算的指称语义和逻辑语义的等价性。.执行期内项目组已发表论文20余篇，其中SCI论文16篇。以非幂等交换单位quantale L为取值格，引入了基于满层L-滤子的L-广义收敛空间的概念，定义了模糊dcpo上的模糊Scott收敛结构，由此诱导了quantale值模糊Scott拓扑。文[A kind of fuzzy upper topology on L-ordered sets, Iran. Fuzzy Syst., 2019]以非幂等交换单位quantale L为取值格，定义了L-模糊预序集上基于满层L-滤子的模糊S-上收敛结构，证明了对于完备L-模糊偏序集上其诱导的模糊S-上拓扑和模糊Scott拓扑等价。证明了在frame格值框架下模糊连续格等价于模糊T0空间的开滤子monad的代数，至此Domain理论中的经典结论“连续格、范畴Top0中入射对象，T0空间的开滤子monad的代数这三者等价”在模糊Domain中的推广被本课题组完全解决。在双格值框架下，基于模糊Scott拓扑证明了LM-模糊可能性计算和它的LM-模糊逻辑语义之间的一一对应，揭示了双模糊背景下非确定型可能性计算的指称语义和逻辑语义的等价性。.由姚卫和路玲霞编著的《序与格论基础》已于2021年12月提交给清华大学出版社出版。主持人姚卫获2019年度河北省自然科学奖二等奖，名称为“模糊Domain理论的研究”，该奖项是对本项目工作的巨大肯定，相关论文同时获2019年度河北省数学青年学术奖一等奖。此外，姚卫入选2021年度江苏省“双创人才”计划。执行期间项目组共毕业硕士研究生3名，现有在读硕士研究生4名，在读博士研究生2名。