Domain与Quantale理论中的拓扑结构以及模糊集方法的应用

The main aim of this project is to study topological structures and applications of fuzzy set method in domain theory and quantale theory. The project is arranged as follows: Firstly, we solve the related questions on Scott topology and lattices of Scott-closed sets, and study topological structures on partial dcpos and their applications. Secondly, we build and characterize the fuzzy dcpo completions of fuzzy posets, and show that some kinds of categories of fuzzy domains are Cartesian closed. We give the characterizations of injective L-To spaces and L-To spaces that have an injective hull through fuzzy domain theory. We also investigate the advantages of N-compactness via fuzzy domain theory. Based on that, we establish the Hofmann-Mislove theorems in the fuzzy domain theory. Thirdly, we give a sufficient and necessary condition for cyclic dualizing element to be unique in Girard quantales. We also use topological structures on Z-quantales to discuss some properties of Z-quantales. Lastly, we investigate topological and categorical aspects of fuzzy quantales, further developing the fuzzy quantale theory.

本项目的主要目的是研究Domain与Quantale理论中的拓扑结构以及模糊集方法的应用。首先，解决Scott拓扑和Scott闭集格的相关问题，研究偏Dcpo上的拓扑结构及其应用。其次，建立和刻画模糊偏序集的模糊Dcpo完备化，证明某些模糊Domain范畴是笛卡尔闭的；通过模糊Domain理论给出内射的L-To空间的具体刻画，进而给出有内射壳的L-To空间的刻画；利用模糊Domain理论探讨良紧性的优越性，在此基础上建立模糊Domain理论中的Hofmann-Mislove定理。再次，给出Girard quantale中循环对偶元唯一的充要条件，利用Z-Quantale上的拓扑结构来讨论Z-Quantale的一些性质。最后，从拓扑和范畴方面研究模糊Quantale的性质，进一步发展模糊Quantale理论。

关于计算机科学的数学基础研究日益受到人们的重视，已成为数学和理论计算机科学研究者共同关注的领域。产生于上世纪70年代初的Domain理论和80年代的Quantale理论正是这样的两个重要交叉领域，尽管它们各自独立发展，但二者都具有丰富的序结构、拓扑结构和代数结构。本项目主要研究Domain与Quantale理论中的拓扑结构以及模糊集方法的应用。在Domain理论中，研究了偏序集范畴、Dcpo范畴、局部Dcpo范畴之间的伴随关系，给出了局部Dcpo上自由S-ldcpo与余自由S-ldcpo的具体形式(S是局部Dcpo monoid)。关于Domain中的拓扑结构，证明了一个To空间是K-有界Sober C-空间当且仅当它同胚于一个连续偏序集的Scott空间，构造了一个反例说明KB(X)(X在专门化序下上确界存在的不可约闭集的全体)通常不是To空间X的K-有界Sober化。在模糊Domain理论中，证明了模糊连续格范畴是预连续的模糊偏序集范畴的反射满子范畴。在Quantale结构及其推广方面，系统的讨论了Quantale与m-半格中的粗糙性和模糊性。通过Quantale中的左准对称元给出了最大左半可换商的刻画，证明了左半可换Quantale范畴是Quantale范畴的反射子范畴。研究了Z-Quantale上的核映射、商、同余之间的关系，证明了Quantale范畴是Z-Quantale范畴的反射子范畴。关于模糊Quantale，证明了交换环的模糊理想之集带上合适的运算构成[0,1]-quantale。引入了模糊量子空间的概念，证明了Sober模糊量子空间范畴对偶等价于空间式双边模糊Quantale范畴。由于模糊Quantale范畴同构于Quantale代数范畴，从而证明了模糊Frame范畴是强模糊Quantale范畴的反射满子范畴。关于Quantale代数的嵌入问题，证明了每一个Quantale代数都可以嵌入到Girard quantale代数中。同时，利用Quantale代数上的核映射，给出了Girard quantale代数的表示定理。Domain与Quantale理论本身作为格上拓扑学的重要分支，有较大的理论研究价值和较好的应用前景，对它们中的拓扑结构以及模糊集方法的应用研究必将进一步推动Domain和Quantale理论的深入发展。