Domain理论与Quantale代数的相关问题研究

As two important branches of topology on lattices, non-classical mathematical logic and theoretical computer science, domain theory and quantale theory have much theoretical study value and wide application prospect. On the basis of the previous work, the aim of this project is to deeply study some related problems of domain theory and quantale algebras. The project is arranged as follows: (i) Developing domain theory on T0 spaces, the key problem is to build appropriate domain logic on T0 spaces, and then give logical representations of domains; (ii) Study on the maximal point space problem, we focus on discussing bounded complete dcpo models of Hausdorff spaces and dcpo models of Hausdorff spaces satisfying the Lawson condition; (iii) Deepening and expansion of fuzzy domain theory, the key problem is to establish the theory of quantale-valued Scott cotopological spaces which is compatible with fuzzy sobriety described by irreducible closed sets; (iv) Study on quantale algebras, we focus on giving topological and relational representations of quantale algebras and answering whether it is possible to use Girard quantale algebras to provide the fuzzy order semantics for linear logic.

Domain与Quantale理论作为格上拓扑学、非经典数理逻辑以及理论计算机科学中的前沿分支学科，有较大的理论研究价值和较好的应用前景。本项目将在前期工作的基础上深入研究Domain理论与Quantale代数的相关问题，拟进行以下四个专题研究：(i)发展T0空间上的Domain理论，重点是建立恰当的T0空间上的Domain逻辑，进而给出Domain的逻辑表示；(ii)关于极大点空间问题的研究，重点是讨论Hausdorff空间的有界完备Dcpo模型以及满足Lawson条件的Dcpo模型问题；(iii)模糊Domain理论的深化与拓展，重点是建立与不可约闭集描述的模糊Sober性相协调的Quantale值Scott余拓扑空间理论；(iv)关于Quantale代数的研究，重点是给出Quantale代数的拓扑与关系表示，回答Girard quantale代数是否可以作为线性逻辑的模糊序语义。

关于计算机科学的数学基础研究日益受到人们的重视，已成为数学和理论计算机科学研究者共同关注的领域。产生于上世纪70年代初的Domain理论和80年代的Quantale理论正是这样的两个重要交叉领域，尽管它们各自独立发展，但二者都具有丰富的序结构、拓扑结构和代数结构。本项目主要研究T0空间上的Domain理论、极大点空间、格值Domain理论以及Quantale代数的的若干关键问题。在T0空间上的Domain理论中，解决了T0空间的K-有界Sober化问题，研究了SI-连续空间与连续偏序集之间的关系，证明了一个C-空间是SI-连续空间当且仅当它在专门化序下是连续偏序集。将偏序集中的下极限收敛与序收敛提升至T0空间，定义了T0空间中的既约收敛与既约序收敛，证明了T0空间中的既约（序）收敛是可拓扑化的当且仅当T0空间是既约（序）连续空间。将拟连续偏序集提升至T0空间，引入了拟连续空间的概念，证明了一个T0空间X是拟连续空间当且仅当X上的SI-拓扑空间是局部超紧的当且仅当X上的SI-拓扑关于包含序是超连续格。系统地讨论了余Sober空间的相关性质，构造了一个非SI-紧的紧Sober空间，从而解决了Zhao和Ho提出的非SI-紧的紧致空间的存在性问题。关于极大点空间，构造了一个反例说明了ω-连续偏序集上的极大点之集关于Scott拓扑通常不是Gδ集。在格值Domain理论中，证明了当H是三值的MV-代数时，以Conically余完备H-序集为对象，以下极限连续映射为态射的范畴是Cartesian闭的。将Domain理论中的有界Sober性与K-有界Sober性推广至Quantale值余拓扑空间的框架下。在Quantale结构与Quantale代数方面，当Q是Girard quantale时，在NQ上定义了一个二元运算&，使得NQ的对偶完备格关于&构成Quantale，其中NQ表示Q上核映射的全体。建立了单位Z-Quantale的表示定理。分别给出了Quantale、Quantale模、完备格、偏序集以及Q-偏序集所生成的自由Quantale代数的具体形式，其中Q是一个交换单位Quantale。Domain与Quantale理论本身作为序拓扑的重要分支，有较大的理论研究价值和较好的应用前景，对其中若干关键问题的研究必将进一步推动Domain和Quantale理论的深入发展。