多物种扩散模型中的某些偏微分方程（组）研究

本项目研究多物种扩散模型中的一些重要的非线性椭圆与抛物方程及方程组，对这些方程（组）解的整体与局部存在性、稳定性态及集中现象进行深入探讨。重点研究扩散系数、竞争系数、资源函数、自寻资源能力系数及区域的几何性质等对解的稳定性态、渐近性态、共存态和集中点（即种群聚集点）的影响，探讨这些现象的扩散机制。试图利用单调系统理论、shadow system约化技巧、变分理论、blow up分析、分歧理论等分析这些方程（组）解的相关性质。我们研究的问题具有很强的生态学背景且具有一定的数学难度（存在强耦合系统），因此有利于发展新的方法解决新的问题，并对生物、数学及生态学中的一些非线性现象提供深刻的认识。希望通过我们的研究，对此类问题提供一些系统的看法和新的技术，并对生物数学的发展有所贡献。

偏微分方程作为研究生物数学的一个重要工具，在自然科学以及现实生活中都有着极其重要的地位。其中有关物种的迁移及种群间的竞争系数对物种生存状态的影响，在数学上主要体现为微分方程系统正解的存在性、稳定性等一系列问题。在本项目中，我们首先研究了具有弱竞争系数“定向移动”的2×2交叉扩散模型中，参数的变化对系统半平衡解的稳定性的影响，从而揭示扩散系数及内部竞争系数对物种生存状态的影响。其次，我们研究了具有非局部扩散项的两个竞争物种模型。为了得到其全局动力学行为，我们研究了其所谓的“shadow system”正的稳定态的存在性。这些结果都将揭示参数的变化对物种生存\灭亡状态的影响。此外，我们还研究了一类阻尼波的传播方程的非线性自伴性、守恒律和椭圆函数解。. 在项目执行期间，项目组成员一共完成10篇SCI论文，培养硕士研究生3人。