数学物理中的某些非线性偏微分方程

本项目研究源于数学物理中的几类典型非线性发展方程和非线性椭圆型方程。涉及的非线性发展方程主要是水波、激光等离子体物理中的非线性Schr?dinger型方程和方程组，如长短波共振方程、Zakharov方程组、Ginzburg-Landau方程等等，主要研究解的适定性、渐近性态，孤立波的存在性和稳定性、吸引子及其相关问题。涉及的非线性椭圆方程主要是非线性发展方程的孤立波、周期解等所对应的非线性椭圆方程、自然增长非线性椭圆型方程，包括临界指数及次临界指数等等的边值问题的多重解的存在性及解的分岔，相应的泛函是不光滑的或带限制的，需要对不光滑泛函的临界点和限制在球面上的泛函临界点进行研究。这些问题是目前国际上的热门课题，难度较大，涉及方程、拓扑、泛函、几何多个学科。对于这些问题的研究能发展出新的方法，揭示出新的规律，具有很高的学术价值和应用前景。