变指数非线性分析

本项目综合运用非线性分析理论、微分方程理论和变指数空间理论等多种理论对一些有重要应用背景的变指数微分方程的解的定性性质进行专门的深入的研究，重点研究在目前对变指数微分方程研究中一直未获解决的一些重要的疑难问题，所要研究的变指数微分方程的类型除了前一时期研究较多的变分型的方程外还将研究一些非变分型的和非局部型的方程。在本项目的研究中，要努力发现由变指数产生的新现象与新问题，在研究思想和方法上进行大的创新，努力克服由变指数带来的各种本质性困难，获得一批在变指数微分方程研究方面居于国际研究前列的高水平的理论成果，同时能够丰富和发展非线性分析的有关理论。

具变指数的数学问题在非线性弹性力学、电子流变流体学和图像恢复学等领域有着重要的应用背景。本项目研究变指数函数空间、变指数变分问题和变指数微分方程，重点是变指数椭圆型方程解的定性性质。主要研究成果是：对p(x)-Laplace方程研究中的的若干疑难问题，如p(x)-Laplace方程的正解的唯一性、具变号非线性项的p(x)-Laplace方程的正解的存在性和p(x)-Laplace方程的边界爆破解等，进行了专门的研究；研究了各向异性的变指数椭圆型微分方程、非局部变指数椭圆型微分方程、变指数椭圆型微分方程组、加权的变指数积分-微分系统、带脉冲的变指数微分系统以及变指数微分包含，获得了关于这些方程解的存在性与多解性的一系列结果；研究了包括变指数Lebesgue-Sobolev空间和Orlicz-Sobolev空间为其特殊情况的Musielak-Orlicz-Sobolev空间，得到了该空间的一个Sobolev型嵌入定理，并研究了该空间上的微分算子的基本性质。在本项目的研究中，我们综合运用了变分方法、上下解方法、拓扑度理论和变指数函数空间理论等多种理论和方法，克服了由变指数所产生的一些本质性的困难。我们的成果推广了在常指数情形的一些已有结果,揭示了变指数问题的某些特征，丰富和发展了变指数分析方面的有关理论。