一类具变指数增长的非线性椭圆问题的研究

Based on the theory of variable exponent function spaces, we will study a class of perturbed elliptic equations with variable growth in the whole space. Nonlinear theory with variable growth has been applied to many fields, such as elasticity theory, electro-rheological fluids, image restoration and so on. It includes the existence, regularity, symmetry, the decay at the infinity of the least energy solutions and the concentration phenomena of solutions. Since variable exponent problems possess more complicated nonlinearities, some classical techniques and methods cannot be carried out for the variable exponent case. Then, it is very difficult to study this kind of nonlinear problems..Currently, the research on this issue is still in exploration. Once this project is completed, more innovative research results will be obtained.

本项目基于变指数函数空间的基本理论，对全空间上的一类带扰动的变指数椭圆型微分方程进行研究。具变指数增长的非线性理论在弹性力学、电流变学及图像恢复等许多领域内都有重要的应用。研究内容包括：方程极小能量值解的存在性、正则性、对称性及无穷远处的衰减性及解的集中性质。由于变指数问题具有更为复杂的非线性性质，传统的理论工具和论证方法常常不再适用，使得对于这类问题的研究较为困难。.目前关于带扰动的变指数椭圆型微分方程的极小能量值解及解的集中性质的研究基本上还处于初期的探索阶段，完成本项目将会得到更具创新性的研究成果。

本项目主要基于变指数函数空间的基本理论，对具变指数增长性条件的非线性椭圆型微分方程进行了研究。具变指数增长的非线性理论在弹性力学、电流变学及图像恢复等许多领域内都有重要的应用。由于变指数问题具有更为复杂的非线性性质，传统的理论工具和论证方法常常不再适用，使得对于这类问题的研究较为困难。.受本项目支持，主要得到如下研究结果：.(1)对一类具临界位势的p(x)-Laplace方程进行了研究。目前，在关于p(x)-Laplace方程甚至更一般的具变指数增长的椭圆型方程的研究中，位势项V(x)均有正的下界。而在我们的研究中，方程中出现的位势项V(x)没有做如此假设。我们只需要V(x)非负即可，甚至可以取到零，这与已有的研究成果大不相同。此时，称方程是具有临界位势的，这一假设给我们的研究带来了困难。在本部分的研究中，首先，采用变分的方法，得到了方程非负弱解在变指数Sobolev空间中的存在性。另外，当方程右端项为奇函数时，基于临界点的Lusternik-Schnirelman理论，得到了方程一列非平凡弱解的存在性。.(2)对一类具变指数增长的强p(x)-Laplace方程进行了研究。这类方程与一般的变指数方程有很大的不同，其中含有的对数项具有超临界的增长阶，这给整个问题的研究带来了很大的困难。在对这个问题的研究中，先对对数项做了细致的估计，进而得到了关于弱解的一个反向Hölder不等式。然后，使用极大值函数及局部化方法对其弱解的梯度做出了Calderón-Zygmund型估计。.(3)在变指数分数阶Sobolev空间中，对一类具非局部算子的方程进行了研究。当方程右端项L^1可积时，得到了方程重整化解的存在性及唯一性。.(4)对一类具变指数增长的双相变问题进行了研究。为了克服方程右端项临界指数的存在，以及所用区域R^N的无界性等所带来的(PS)序列在某些能量值c处非紧性的问题，首先建立了一类集中紧致性原理，然后利用变分法得到了方程的一列非平凡弱解。