几类具有记忆项的变指数型非线性发展方程的定性研究

In this project, we mainly study the initial boundary value problems for the nonlinear pseudo-parabolic equation with memory and k(x,t)-Laplacian, the fourth order parabolic equation with memory and source of variable exponent type, and the viscoelastic wave equation with nonlinear boundary damping and internal source of variable exponent type. All of these equations arise from different branches of modern mathematical physics and have strong physical background. The methods which study these equations are very complicated and important to us. The outline of project as follows: In the framework of the generalized Sobolev space with variable exponent type, we will study the qualitative problems for these equations mentioned above with sub-critical initial energy, critical initial energy and sup-critical initial energy cases, respectively. By the Galerkin approximation, potential well theory, monotonicity-compactness method, penalty method, the method of vanishing viscosity and variational inequality etc, we will prove the global existence of solutions for theses equations. Using the improved concavity method, potential well theory, improved energy pertubation method and variational inequality etc, we will consider the nonexistence of global solutions. Especially, the sharp conditions (threshold results) of global existence and nonexistence of solutions for these equations will be discussed under certain conditions for the variable exponent forms. We will give the asymptotic property and explicit decay rate estimates of the energy for these equations by making use of the improved energy pertubation method, multiplier method and other methods.

本项目主要研究现代数学物理中出现的具有记忆项和k(x,t)-拉普拉斯算子的非线性伪抛物方程、具有记忆项和变指数型源项的四阶抛物方程的初边值问题，以及具有变指数型边界阻尼和内部源项的粘弹性波动方程的初边值问题。这些方程都具有重要的物理意义，同时在数学方法上也具有很强的挑战性，故而受到数学家和物理学家的高度重视。研究内容为：在各种变指数型广义Sobolev函数空间框架内，从次临界、临界和超临界三种能量级情形分别讨论上述方程的定性问题。利用Galerkin逼近、位势井、单调紧致法、惩罚法、粘性消去法、以及变分不等式等方法证明整体解的存在性；利用改进的凹性方法、位势井、改进的能量扰动法和变分不等式等方法研究整体解的不存在性；特别的，在适当的幂指数形式下还讨论整体解存在与不存在的最佳条件，即门槛结果；利用改进的能量扰动法、乘子方法等研究整体解的渐近性质以及能量衰减率估计。

近年来，随着人们对自然界探索深度和精度的不断拓展，在非线性科学的理论研究和实际应用领域，特别是在物理学、流体力学、化学和生物学等领域都涌现出了大量的非线性发展方程。这些方程不仅具有重要的物理意义，同时在数学研究方面也具有很强的挑战性，故而受到数学家和物理学家的高度重视，成为现代非线性科学研究的主流和热点之一。例如，具有记忆项(粘弹性项)的非线性发展方程就出现在粘弹性材料中热传导的分析，粘性材料中粘滞流动的分析, 粘性弹性杆的非线性振动的分析等研究中；高阶变指数型发展方程就出现在随温度而变的粘性和非线性粘弹性流体的分析，多孔介质过滤过程的分析和图像处理的研究中；浅水波方程的研究可用于海啸传播的探索和预警。为此，本项目致力于研究在数学物理或其它应用科学领域出现的具有记忆项的变指数型发展方程、高阶非局部浅水波方程、四阶非线性薛定谔方程解的适定性、爆破性、稳定性及其整体解的长时间动力学行为等性质。我们在各种变指数型广义Sobolev函数空间和Besov空间框架内，从次临界、临界和超临界三种能量级情形分别讨论上述方程的定性问题。利用Galerkin逼近、位势井、单调紧致法、惩罚法、粘性消去法、以及变分不等式等方法证明整体解的存在性；利用改进的凹性方法、位势井、改进的能量扰动法和变分不等式等方法研究整体解的不存在性；通过变分法、能量扰动法和谱方法等的有效结合探讨上述方程的光滑孤立波解、 单尖峰孤立波解和周期尖峰孤立波解的轨道稳定性以及一般解的渐近性质。 目前得到的成果为：（1）关于具有记忆项的非线性发展方程初边值问题和Cauchy问题的定性研究，已完成4篇科研论文；（2）关于非线性拟抛物和亚抛物方程的初边值问题定性研究，已发表3篇科研论文；（3）关于高阶非线性波动方程初边值问题和Cauchy问题的定性研究，已发表4篇科研论文；（4）关于具有二阶非线性导数项的四阶薛定谔方程解的适定性和稳定性的研究，已完成1篇科研论文；（5）对于浅水波方程的解的适定性以及孤立波解的轨道稳定性方面的工作，已发表2篇科研论文。