变指数非线性分析中的若干问题

Nonlinear problems of variable exponents,especially differential equations with nonstandard growth conditions and the theory of the function spaces with variable exponents, have been studied extensively in recent years. These problems are used in the modeling of electrorheological fluids, thermorheological fluids and image processing,etc.In this project, we will investigate the sign-changing solutions of the p(x)-Laplacian elliptic equations, the p(x)-Laplacian elliptic equations with critical Sobolev exponent and existence, uniqueness and regularity of solutions of the parabolic equations with nonstandard growth conditions by new ideas and methods. It is based on the frontier of nonlinear analysis of variable exponents, and closed related to functional and real analysis, topology, group theory and PDEs.

变指数非线性问题，特别是具非标准增长条件的微分方程和变指数函数空间理论近年来成为研究的热点，它们主要应用于电流变流体模型，热流变流体模型和图像处理模型等领域。本项目立足于变指数非线性分析的前沿, 结合泛函分析，实分析，拓扑学，群论，偏微分方程的内容，拟通过新的思想和方法考虑p(x)-Laplacian椭圆方程的变号解，带有临界Sobolev指数的p(x)-Laplacian椭圆方程以及具非标准增长条件抛物方程解的存在性，唯一性和正则性。

本项目研究的问题包括：.a. p(x)-Laplacian椭圆方程.b. 拟线性抛物方程.c. 半线性椭圆系统非平凡解的存在性.d. 带有对数非线性项的Schrodinger方程.e. 渐近线性Kirchhoff方程.d. 带有second Hessian的双调和椭圆方程.e. 具指数临界增长条件非线性项的Chenrn-Simos-Schrodinger方程. 对p(x)-Laplacian椭圆方程，当非线性项满足较弱的条件时，我们用新的方法和思想证明了基态解和无穷多解的存在性，提高了已有的结果。我们的方法可以涵盖更多的非线性问题。. 在Orlicz-Sobolev空间上，我们研究了一类拟线性抛物方程。通过算子理论和非线性半群理论，我们得到了解的存在性和解的渐近行为。. 用Orlicz-Sobolev空间的理论和变分法，我们考虑了半线性椭圆系统解的存在性。在我们的问题中，把次临界的概念从多项式增长推广到N函数增长，同时并不要求非线性项满足经典的Ambrosetti-Rabinowitz条件，因此我们需要更细致的估计，而且我们的结果丰富和提高了已有的结果，刺激了相关问题的研究。. 在位势满足渐近条件时，我们研究了一个含对数非线性项的Schrodinger方程。当位势是强制的，应用改进的喷泉定理，给出了无穷多解的存在性，当位势是有界的，基态解的存在性被得到。这一类方程主要用于量子力学，量子光学，核物理等领域，其研究成果还不多，我们较早进入这一问题的研究。. 对于全空间上的渐近线性Kirchhoff方程，我们直接在原空间上研究问题，通过细致估计Cerami序列去克服紧性的缺失，从而给出了问题多解的存在性。 . 应用变分方法和Nehari流形方法，我们给出了带有second Hessian的双调和椭圆方程多重解的存在性。我们把Nehari流形方法应用到了新的问题。. 应用变分方法和Trudinger-Moser不等式，我们首次研究了二维空间上非线性项带有临界指数增长条件Chern-Simos-Schrodinger方程多重解的存在性问题。