Mather理论的若干前沿问题

本项目拟研究正定拉格朗日系统的Mather理论的一些重要问题。Mather理论自创立以来，一直是是动力系统领域最前沿、最活跃的分支之一。本项目主要在以下两个方面展开研究：首先，我们将研究具有非交换基本群的紧致流形上的拉格朗日系统的同伦极小测度和极小轨道的性态。我们将利用将系统提升到有限覆盖空间上，把一部分同伦意义下的极小性转化为同调意义下的极小性的方法，在覆盖空间上完成对同伦极小测度和极小轨道的有关性质的研究。其次，我们将研究辛自同胚的双曲不动点的拓扑横截同宿轨道附近的动力学性态。由于缺乏几何横截相交性，因而不能构造马蹄，传统的微分动力系统的研究很少涉及这一方面的问题。我们将首先论证同宿轨道附近系统具有扭转性质；以此为基础，利用Mather理论的有关方法和结论，用纯分析学的手段研究同宿轨道附近的动力学性态，并在此基础上研究系统的整体性态。

本项目主要研究了哈密顿动力系统及Mather理论的一些重要的前沿问题。我们对有非交换基本群的紧致流形上的正定拉格朗日系统同伦极小测度和极小轨道的结构、无共轭点的黎曼流形上的测地流的拓扑熵、辛微分自同胚的双曲不动点的拓扑横截同宿轨道附近的混沌性态、中心2维的部分双曲辛微分自同胚的稳定遍历问题以及含有奇点的一致双曲哈密顿系统的统计性态等方面的前沿问题进行了深入的研究。我们证明了2维无共轭点的黎曼流形上的测地流的熵可扩性、在一定条件下中心2维的部分双曲辛微分自同胚的Pugh-Shub猜想，以及含有奇点的一致双曲哈密顿系统的无界观测函数的相关系数的指数衰减性等哈密顿系统理论中的重大问题。并在其它问题上也取得了很大的进展。