高维Aubry-Mather理论中的若干问题

由物理学家Aubry,Le Daeron和数学家Mather分别独立建立的Aubry-Mather理论，是上世纪保面积同胚研究领域最重要的进展之一。人们在诸多领域,如动力系统,固态物理和微分几何中,都发现了它所揭示的现象。该理论自产生以来一直备受国内外知名数学家们的关注，迄今为止，它的发展已远远超出了保面积映射所能遍及的范围。现在，Aubry-Mather理论仍是微分动力系统研究领域中最具重要性和发展潜力的研究课题之一。在本项目中，我们拟研究高维Aubry-Mather理论中的两个问题：（1）近可积广义哈密顿系统的作用极小测度问题；（2）具有哈密顿结构的偏微分方程的作用极小测度问题。

Mather理论和弱KAM理论是目前Hamilton动力系统研究领域中的重要课题。它们密切相关，并长期受到国内外数学工作者的高度关注，得到了较快的发展。在本项目中，我们紧密围绕这两个理论开展研究。具体成果如下：一、按原定计划研究了Mather理论中的两个问题。（1）近可积广义Hamilton系统的作用极小测度问题。对于一大类近可积广义Hamilton系统，我们研究了其作用极小测度（Mather测度）的存在性问题，从而在一定程度上解决了一类保体积系统在小扰动下动力学机制的保持性问题。（2）具有Hamilton结构的偏微分方程的作用极小测度问题。对于一类波动方程，我们定义了低维作用极小测度的概念，并且证明了其存在性。这种极小测度对应于波动方程的一类种弱解。据我们所知，这是一次全新的尝试。二、在原定计划之外，我们还对弱KAM理论中的一类基本问题进行了深入的探讨。首先，研究了自治Lagrange系统的弱KAM理论核心工具——Lax-Oleinik半群的收敛速度问题；然后，在时间周期Lagrange系统中引入了新Lax-Oleinik型算子的概念，完善了时间周期情形的弱KAM理论；最后，研究了新Lax-Oleinik型算子的收敛速度问题。