高维同调代数的研究

Homological algebra has many applications in algebraic topology, mathematical physics. A significant application is in the theory of representation. There is a family of very important functors --homological functors, especially, the Ext and Tor functors. They can be used to define the cohomology of groups, the cohomology of sheaves and the cohomology of Lie algebra. Moreover, they have important applications in the extension of groups, modules and Lie algebra. Along with the development of higher category theory, homological algebra theory in higher category theory becomes the hot spot in mathematical research. Based on the works of the two more important left derived 2-functor and right derived 2-functor, the goal of the project is mainly to study their applications in the extension of 2-group, Lie 2-algebra and in representation theory.

同调代数在代数拓扑、数学物理中有广泛的应用，特别是在表示论中的应用更为显著。同调代数中有一类非常重要的函子--同调函子, 特别是 Ext 和 Tor 这两类函子, 它们在研究群的同调、层的同调、李代数的同调, 以及群、模、李代数的扩张等都有重要应用。随着高维范畴理论的发展,高维范畴上的同调代数理论成为目前高维范畴理论研究的热点。在2-范畴上的左导出2-函子和右导出2-函子的研究基础上，本项目主要研究这两类2-函子的应用，主要是在2-群，李2-代数的扩张以及在表示论中的应用。

同调代数理论发展至今，理论非常丰富、应用也很广泛和深刻。随着高维代数的发展，特别是高维范畴理论的发展及其广泛应用，高维同调代数理论的出现和发展迫在眉睫。这种理论也是数学物理研究的一套有效工具。本项目的研究问题是首先建立高维同调代数理论的框架，给出最基本的概念，然后给出一些比较典型的应用。.通过本项目的研究我们首先给出高维代数理论中2-环的表示及其和2-模之间的对应关系，从而给出2-模的应用，另外还给出2-群的扩张及其和导出2-函子之间的联系，项目既定目标基本完成。在研究这样的问题过程中，我们首先在之前的研究工作基础上，利用2-范畴中的2-函子Hom（,）通过projective resolution 和 injective resolution 给出两类EXT 2-函子的定义，证明了这两类EXT 2-函子的等价性，并讨论其性质，最后给出2-群扩张的分类。另外我们也研究了一类辫子外代数的Hochschild同调，为讨论其在高维代数中的应用做了准备工作。