相对同调代数及其应用

本课题旨在通过相对同调代数的研究，发现新的包络类与覆盖类，并利用它们得到一些重要环类的结构与性质，构造不同于传统意义下的同调函子，发现计算同调维数的新途径，另外还将探讨Hopf代数与代数表示论中的一些分类与表示问题。研究内容包括包络覆盖理论的存在性与完备性问题；余挠理论与包络覆盖的内在关系；通过余挠理论与传统挠理论的比较研究，统一和推广环的各种凝聚性；包络覆盖理论在倾斜理论与导出范畴中的应用；确定Hom与张量函子在不同方向上的导出函子，同时将所得结果用于有限维猜想、Nakayama猜想、Auslander-Reiten猜想、Faith猜想的研究等。特别地，我们将以相对同调为工具来研究一般有限维Hopf代数的表示型判断；完成有限表示型和Tame型 Hopf 代数的分类。

本项目主要利用同调方法研究了一些重要代数结构的性质。主要结果如下：引进了 W - G o r e n s t e i n 模的概念，统一了现有文献中关于 G o r e n s t e i n模的一些概念，所得结果丰富了 G o r e n s t e i n 同调理论。对于任一模类 F，引进了 #-F 复形的概念 ，讨论了 #-F 复形的（ 预） 覆盖和（ 预）包络的存在性，建立了复形的相对同调理论，所得结果进一步揭示了模范畴与复形范畴之间的关系。 对于任一环 R 和 R-模范畴中任一遗传挠理论，定义了相对凝聚性概念。这一概念的引进，不仅统一了已有的一些凝聚性概念，而且进一步完善了凝聚环上的同调理论。引进了相对余纯投射模以及强余纯投射模的概念并研究了相应的同调维数，改进了诺特环上的相应结果。利用张量积函子的右导出函子研究了模的挠自由和可除维数，确定了由循环挠自由模类上生成的余挠理论的完备性、完全性及遗传性。