解析函数空间上的算子理论与算子代数及Banach代数中的投影谱

Operator theory and operator algebra of holomorphic function space,and projective spectrum in Banach algebra are important branches of modern mathematics. They have important and profound relationship with other branches of mathematics,physics and cybernetics,etc.The properties and structure of holomorphic function spaces,operator and operator algebra on these spaces are dependent strongly on topologic proerties and geometric character of defined domain of function spaces. The holomorphic function spaces on different domains have different properties and structure.Then more and more people pay close attention to relevant issues.Projective spectrum in Banach algebra is a new concept, and has closely relationship with topology and geometry. In this projection, we research structure, properties and classification problem of operator algebra on holomorphic function spaces on kinds of domains; Boundedness, compactness,Sachatten-p class properties, commutant, invertibility of those operators are disdussed. Projective spectrum in Banach algebras are researched. we mainly focus on projective spectrum of Toeplitz operator group and action group of projective spectrum.

解析函数空间上的算子理论与算子代数及Banach代数中的谱问题都是现代数学的重要分支与热点问题。它们与数学的其他分支、物理、控制论等有着深入的联系。解析函数空间上的算子与算子代数的性质、结构都与区域的拓扑性质与几何特征有直接关系，不同区域的解析函数空间上的算子与算子代数的性质与结构有较大不同，相关问题一直是人们关注的热点。Banach代数中的投影谱是一个新概念，与几何、拓扑有密切联系。本项目致力于研究多种区域的解析函数空间上的算子代数的性质、结构与分类问题；研究算子的有界、紧、Schatten-p类、换位子与可逆等问题；研究Toeplitz算子组的投影谱、投影谱上的作用群。

解析函数空间上的算子理论与算子代数及Banach 代数中的谱问题都是现代数学的重要分支与热点问题，它们与数学的其他分支、物理、控制论等有着深入的联系，相关问题一直是人们关注的热点。本项目研究了不同区域，如有界对称域、单位圆盘、单位球、多连通区域、复平面与高维复空间的解析函数空间上的Toepliz算子、Hankel算子、复合算子的有界性、紧性、Schatten-p 类、代数性质等。项目结果刻画了Fock型空间上实符号Hankel算子的有界性、紧性，得到了有界对称域的Dirichlet空间上Toeplitz算子紧的充要条件，得到了广义Fock空间上具有正符号的Toeplitz算子的Schatten-p类的等价条件，还刻画了不同阶数的广义Fock空间之间 的正测度符号Toeplitz算子的有界性、紧性，得到了Fock-Sobolev空间上Sarason猜想成立的等价条件，得到了Fock 型空间上指数阶增长符号的径向符号两个Toeplitz算子换位的充要条件，给出了单位球上Dirichlet空间上算子换位性条件与Ractti方程解。这些结果对于理解不同区域的拓扑性质与几何特征与其上解析函数空间的算子与算子代数的性质、结构的关系有较大意义，也为一般算子理论的发展提供了许多有意思的实例。Banach 代数中的投影谱是一个新概念，与几何、拓扑有密切联系。本项目计算了Cuntz代数上生成元的投影谱，研究了紧算子族的核丛、考虑了Cuntz代数上二阶微分形式与Bergman度量之间的关系等问题，为投影谱理论的继续发展提供了基础。