具有分数阶导数的解析函数空间上的算子与算子代数

We will research the special operator and operator algebras on Hardy-Sobolev spaces and Bergman-Sobolev spaces, these spaces first occurs in Harmonic analysis. Recently, the complex analytic construction and the Sobolev space construction are connected, since the complex analytic function spaces have better construction than real function spaces, the properties and construction of operators and operator algebras on these spaces are deeper than that in the case of real variables. However, the construction of these spaces are more complex than that of classical Hardy and Bergman spaces, in fact, the classical methods and techniques almost fail on these spaces, the theory of operators and operator algebras on the spaces seems very difficult. We will continue the research of properties of the multipliers, Toeplitz operators, composition operators and constructions of generated algebras on the spaces.

本项目主要研究Hardy-Sobolev空间及Bergman-Sobolev空间上一些特殊算子与算子代数的性质与结构，Hardy-Sobolev空间与Bergman-Sobolev空间最早出现在调和分析中。将复解析函数空间结构与Sobolev空间结构相结合是最近若干年的事，由于复解析函数空间比实函数空间具有更好的结构，所以这些空间上的算子与算子代数的性质与结构相对于实变情形更加精细。然而，与经典的Hardy空间及Bergman空间相比，这些空间的结构则要复杂很多，事实上，经典的复解析函数的技巧与方法几乎不再适用与这些空间，所以这些空间上算子与算子代数理论的发展显得很困难。本项目将继续探索这些空间上乘子、Toeplitz算子及复合算子的性质以及由这些算子生成代数的结构。

本项目研究了解析Sobolev空间上几类算子特殊算子的谱性质，完全给出了Hardy-Sobolev空间上乘法算子的谱刻画及本性谱的刻画，计算了其Fredholm指标，部分回答了K.H.Zhu提出的一个公开问题。同时，研究了Fock空间上一类奇异积分算子的有界性，利用调和分析工具给出了一类奇异积分算子有界的充要条件，完全解决了K.H.Zhu提出的另一个公开问题。证明这些结果所使用的方法是全新的，成功沟通了调和分析与泛函分析之间的关系，对于复分析、调和分析以及泛函分析领域都是有趣的。此外给出了Dirichlet空间上复合算子值域稠密性的刻画，回答了J.Cima在上个世纪七十年代提出的一个问题。在很弱的条件下，给出了一半区域上复合算子可逆（本性可逆）的充要条件，审稿专家认为：“这一结果涵盖了上世纪莪0年代以来的所有相关结果”。这些结果发表在Advances in Mathematics、J.Functional Analysis、Bulleting of London Math.Soc.等国际有重要影响的数学杂志上。