可压流体力学相关混合型方程的研究

Nonlinear hyperbolic conservation laws is an important part in the field of mathematical physics widely. The fluid movement can be attributed to the approximation of ideal fluid. Discontinuous solutions appear most obviously. In this paper，we are concerned with the mixed equations and the theory of reflection and refraction of shocks, both the reflected wave and the refracted shock can be a supersonic shock or a transonic shock. Correspondingly, these cases of regular refraction can be classified as H-H type, E-E type and E-H type. We use the equations as the mathematical model to describe the motion of the compressible fluid. The system of equations is hyperbolic for supersonic flows, while it is elliptic for subsonic for ones. Hence the stability problem of the regular refraction can reduced to a free boundary problem of nonlinear mixed type equations. We prove unique existence of the solution to the linear mixed type system. Some estimates have also been obtained. The results will be applied to the nonlinear free boundary problem.

非线性双曲型守恒律方程组是数学物理领域中的重要组成部分，具有广泛的物理背景和应用价值。近几十年来研究工作十分活跃。自然界的大量流体的运动产生的现象都可以近似地归结为对理想流体的研究。它的最大特点在于解中会出现间断现象。本课题主要研究可压缩流体力学中激波反射透射理论以及相关的混合型方程。激波可以分为跨音速激波和超音速激波。相应的激波的正则透射结构可以分为H—H，E一E，E一H型。可压缩流体力学方程描述流体运动，方程在超音速区域为双曲型，亚音速区域为椭圆型。正则透射结构的稳定性可以化为非线性混合型方程自由边值问题，通过对一类线性混合型方程组边值问题进行研究，得到解的存在唯一性以及相应的先验估计。由此得到非线性混合型方程自由边值问题的结果。

可压流体力学中椭圆双曲混合型方程的研究是偏微分方程的基本内容之一，是数学物理领域中的重要组成部分。近几十年来引起国际上数学界和物理学界的广泛关注，研究工作十分活跃，它具有广泛的物理背景和很强的应用价值。主要研究内容如下:.1、研究了可压流体力学中二维压差方程。利用直接的方法讨论了在自相似平面上二维压差方程的特征分解理论，得到了压强和特征值的特征分解。进一步，若流动来自常状态，还可得到速度的特征分解。由此可以得到与常状态流动相邻的流动是简单波，且说明了简单波的流动区域是被一族直线所覆盖，沿着每条直线压强速度均为常数。自然界的大量流体的运动产生的现象都可以近似地归结为对理想流体的研究。对理想流体的讨论，不仅具有理论上的重要意义，而且具有实际上的重大价值。.2、考虑了一类特殊跨音流模型的闭Dirichlet问题。证明了该跨音流模型的闭Dirichlet问题弱解的存在唯一性以内部正则性。边界条件可以分为闭边界条件和开边界条件。这两种问题在跨音速流中都非常重要。 .3、考虑了一类具有阻尼项的非线性双曲方程组的初边值问题，得到了整体存在唯一性，解的爆破以及生命跨度。该模型在数学物理以及地球物理，海洋声学等方面及其重要的应用。