可压缩流体中的混合型偏微分方程及其相关问题

非线性混合型偏微分方程是偏微分方程中的重要研究课题，广义Tricomi型方程、可压缩跨音速流体中的Euler方程组都是混合型偏微分方程的典型代表。这些方程具有深刻的数学和物理背景。本项目主要应用二阶椭圆方程理论和微分算子谱理论研究超音速气流经过具椭圆截面的锥体时跨音速激波的整体适定性或非适定性，以及三维de Laval管中跨音速激波的整体适定性；用微局部分析理论探讨拟线性广义Tricomi方程等混合型方程初边值问题解的适定性；研究Euler方程组中非平凡亚音速流爬坡问题的非存在性或存在性，以及三维管道中亚音速流的稳定性。

本项目主要关注可压缩流体力学中的Euler方程组，其发展过程自始至终贯穿着严格的物理背景和严谨的数学理论。它们都与拟线性混合型方程和拟线性退化方程的适定性研究密切相关。原计划本质上主要研究下列四类问题：（1）定常超音速激波和跨音速激波的稳定性和非稳定性问题；（2）研究在不同类型的管道中气体运动的稳定性；（3）拟线性混合型方程和退化型方程的初边值问题；（4）非平凡亚音速流爬坡问题的存在性和非存在性。在本项目的执行周期中，项目组对前第一个问题进行了较为系统的研究，解决了Courant和Friedrich关于跨音速激波不稳定的公开猜测。对（2）（3）进行了部分研究，得到了一些好的结果。对第四类问题进行了认真准备，这将是我们后续研究内容的一部分。在项目的资助下，项目组取得了下列成果：（1）超音速流经过一个圆锥所产生的超音速激波的全局解的不存在性；（2）超音速流经过一个三维的楔形障碍物所产生的附体跨音速激波的不稳定性；（3）无穷远处趋向真空的光滑流体的整体存在性和稳定性；（4）三维完全Euler方程组的一个新的分解，应用于跨音速球状激波和球状对称的亚音速流的三维非对称扰动问题稳定性研究，得到了相应的稳定性结果。