可压缩流体力学方程的数学研究

本课题主要利用现代调和分析方法研究一些可压缩流体动力学模型，如可压缩Navier-Stokes方程和可压缩磁流体方程组的适定性和弱解的正则性。这些方程具有强烈的物理背景和应用前景，其在三维空间的适定性问题是当今数学物理界非常关注的热点问题之一。利用调和分析的技术和思想来研究这些可压缩流体力学方程Cauchy问题在某些临界Banach空间的局部适定性和整体适定性；在局部适定性的基础上进一步研究局部光滑解的连续延拓问题以及弱解的正则化问题；在整体解存在的假设下，研究解的长时间行为和其渐近行为以及与自相似解的关系，研究解的全局吸引子存在性问题，利用算子谱分解方法研究整体解的衰减估计。将调和分析的思想应用到可压缩流体力学方程的研究需要克服方程不满足伸缩变换不变性质等困难，其数学理论具有极大挑战性，对偏微分方程的定解理论将提供一个重要的研究方法。

本课题主要利用现代调和分析方法研究一些可压缩流体动力学模型，如可压缩Navier-Stokes方程和可压缩磁流体方程组的适定性和弱解的正则性。对于可压缩Navier-Stokes方程我们证明了强解的可延拓准则，得到了更一般的延拓准则。我们研究了可压缩磁流体方程组，对于初值满足一定条件的弱解是零解，或者初值满足一定条件其整体弱解不存在。我们研究了可压缩磁流体方程组在超临界Besov空间的适定性问题，对于初值属于超临界Besov空间，并且初值是有上界和正的下界，得到了局部解的存在性和唯一性。对于轴对称的不可压缩磁流体方程组，我们得到了其弱解正则性准则。我们研究了象征是m(\xi)的广义Navier-Stokes方程弱解的正则性，当象征满足适当条件时，解在比较弱的意义下是正则解。三年发表学术论文24篇，其中SCI收录15篇，EI收录3篇，CSCD核心6篇。项目组成员按计划进行了国内外的学术交流工作。举办一次国际会议“非线性偏微分方程与动力系统国际学术研讨会”和一次国内会“河南省第五届非线性偏微分方程研讨会”。课题组在人才培养方面做了大量工作，三年来共培养11名硕士研究生，2名中青年学术带头人。