应用图论

图论作为一门新兴的离散数学分支，在理论化学、统计物理、分子生物学、网络设计、运筹学、计算机科学以及经济和社会科学中都得到了广泛的应用，涉及到代数学、拓扑学和组合学等数学工具。图论在相关学科的应用研究也产生了深刻的数学理论，并推动着图论自身的迅速发展。.本项目用图论的方法研究化学、分子生物学和统计物理中的理论和实际问题，具体内容有：化学图的结构特性及若干拓扑指标（Randic指标， 谱与能量，Wiener指标等），化学分子图的完美匹配与共振问题(包括k-共振、k-圈共振、Clar覆盖多项式，共轭圈多项式等）， 碳纳米管和各种曲面上的富勒烯分子的图理论，DNA序列和蛋白质研究中的图论与拓扑方法，统计物理中的dimer问题和纽结多项式的根的分布等课题，解决其中若干重要的公开问题和猜想，取得具有国际影响的重要成果，为相关学科的进一步研究提供更加有效的数学工具和方法。

本项目围绕有机化学、分子生物学和统计物理中产生的与图论相关的理论问题和实际问题展开了研究工作，完成了预定任务，取得了突出的研究成绩..在分子的拓扑指标方面，克服拟序比较的缺陷，采用能量计算的Coulson积分公式和参数积分的估算新方法，最终解决了数学化学家Gutman等提出长期未解决的问题：确定单圈图类中最大能量图， 在Springer出版一部专著“Graph Energy”；用概率方法得到了树的Randic指标的近似估计，从而证明了Fajtlowicz关于Randic指标和平均距离的猜想对几乎所有的连通图和几乎所有的树都是成立的.. 在图的完美匹配与共振方面，研究了曲面嵌入图的匹配扩张，系统地考虑了k-共振系统, 提出了极大共振图的概念, 证明了2-可扩平面二部图是2-共振的，由此完整解决了硼氮富勒烯图的k-共振问题；特别地完整解决了“什么富勒烯图是2-共振”这个困难问题..在碳纳米管和富勒烯（fullerene）分子的图理论方面，研究了Clar理论在稳定性方面的作用, 对小的fullerene分子，发现从sextet多项式与Clar覆盖多项式的系数之和的最大值都能唯一地从其所有同分异构体中确定出稳定的富勒烯，如C60和C70. 证明了fullerene图的最小匹配强迫数至少为3，反Kekule数恒为4. 证明了开口纳米管等距离嵌入超立方图当且仅当它属三类退化的情况..在DNA序列和蛋白质方面，从数学上通过多面体链环模型来模拟这些折叠结构，提出了多面体链环的构筑方法，给出了这些多面体链环的对称性、手性、拓扑性质及拓扑指标的计算，特别提出了多面体链环的新Euler公式，在Nova Sciences 出版专著“The Chemistry and Mathematics of DNA Polyhedra”..在统计物理与纽结多项式方面， 应用排叉链环类证明了琼斯多项式的零点在整个复平面上是稠密的，进一步使用Jaeger链环也证明了Homfly多项式的零点在复平面上是稠密的. 基于平图通过对边进行交错定向tangle替换得到的有向链环的Homfly多项式，建立了其与平图的赋权的Tutte多项式之间的关系. 此外，给出了一些典型图类的支撑树和dimer 构型的计数以及熵的计算. 运用Polya计数定理给出了任意多个苯的Belt及Möbius型的环状苯环数目的计数公