代数簇的分类及其应用

Classify 3-folds with small invariants, including the complete classification of 3-folds of general type, weak Fano 3-folds and irregular 3-folds, as a consequence, establish a complete birational classification theory of 3-folds. Calculate the stability indexes of higher dimensional varieties with big invariants, and find the recursive rule. Establish the relationship between the compactifications of different types of the moduli spaces of K3 surface with small genus, including GIT type, Looijegna type and KSBA type. Confirm the rational connectedness of the Fano-like and supper-singular varieties defined over a field with positive characteristic. Find the special arithmetic and geometric properties of the varieties with a minimal number of singular fibers. Using the Chern numbers and other birational invariants to classify holomorphic foliations with small slopes on an algebraic surface, and apply it to study of Poincare Problem, Painleve Problem and some problems on real differential equations of first order. Establish the theory of tropical fibrations on tropical surfaces similar to that on algebraic surfaces.

研究小不变量的三维代数簇的分类，包括一般型三维簇、弱法诺（Fano）三维簇、不规则（irregular）三维簇的完整分类和存在性，建立起完整地建立起三维簇的双有理分类理论。计算具有大不变量的一般型高维簇的典范稳定性指数，寻找其递归法则。建立低亏格K3曲面模空间的GIT紧化，Looijegna紧化以及KSBA紧化之间的关系。证明正特征域上的Fano类代数簇和超奇异代数簇的有理连通性. 研究具有极小个数奇异纤维的代数簇的算术和几何性质。用我们发现的陈数等双有理不变量，研究代数曲面的具有小斜率叶层化的分类问题，并应用于解决Poincare问题和Painleve问题，还应用于一阶实微分方程的一些问题的研究。参照代数曲面纤维化的理论，建立热带曲面的纤维化类似理论。

代数几何的主要任务是对代数曲线、代数曲面、高维代数簇进行分类，最终目的是构造分类的模空间。目前只有曲线模空间得到了好的了解。19世纪末，庞加莱、潘勒维提出了用代数曲线的分类研究两个变量的一阶微分方程代数可积性的问题，至今仍然是著名的难题。..本项目要研究的主要内容如下，对具有小不变量的三维一般型簇进行分类；研究一些特殊曲面和高维簇的模空间；研究代数曲面的几何与模不变量之间的关系，并应用于解决庞加莱问题、潘勒维问题。该项目在这些问题的研究上取得了一系列重要成果。..在一般型三维簇的研究上，解决几个公开问题和猜想。首先发现了最佳的诺特不等式。当几何亏格大于4时，证明其4-典范映射是双有理的当且仅当该三维簇含有一个（1，2）型曲面束。当不规则性大于0时，证明其5-典范映射为双有理，并且5不能再改进，还建立了Severi型不等式。这些成果被用于解决了一些分类问题。..解决了超开勒簇的模空间上的tautological猜想。解决了toric法诺曲面的渐进周稳定性问题，完成了6次K3曲面模空间的几何不变量紧化构造。部分验证了Artin-Shioda猜想。解决了经典的Shioda问题，即两个阿贝尔曲面同构当且仅当它们的Kummer曲面同构。..对几何亏格大于6的一般型曲面，得到了其阿贝尔自同构群的最佳上界，解决了一个未解决难题。完全解决了有理曲线上任意维数半稳定纤维化奇异纤维的最小个数的经典问题，证实了猜想：一般型曲面上的半稳定纤维化至少有7条奇异纤维。证明代数曲面的模不变量是微分方程的不变量，从而发现了微分方程的双有理不变量陈省身数。对斜率小于4的微分方程，我们得到了一个亏格不等式，回答了的潘勒维问题。利用不变量，我们对非一般型微分方程解决了庞加莱问题，这是该问题的第一个肯定答案。还解决了亏格1时的潘勒维问题，亏格0时该问题是宫冈在1987年解决的。这一成果为微分方程的双有理分类提供了形的工具。