代数簇的几何

Study the modular invariants of a family of curves and the Chern numbers of a singular fiber, and apply the results to the study of Poincare problem: Is it possible to decide if an algebraic differential equation in two variables is algebraically integrable? Get some optimal upper bounds on the order of the abelian automorphism group of a surface of general type. Study the property of Teichmuller curves in the moduli spaces of curves, and prove that there is no Shimura curves in the moduli space of curve with higher genus. Study the moduli spaces of special linear systems on an algebraic surface. Find some algebro-geometric conditions such that Riemann's Existence Theorem holds true for algebraic functions in two variables. Prove the positivity of the cotangent bundles of the moduli spaces of smooth algebraic varieties. Investigate the behavior of the pluri-canonical maps of higher dimensional algebraic varities. Try to complete the birational classification of 3-folds. Prove that if -K is nef, then the Albanese map of the variety is smmoth. Over a field of characteristic p, find an effective bound on the instability of Higgs bundles, study the stability of the tangent bundles of Calabi-Yau manifolds, and measure the failure of Kawamata-Viehweg vanishing theorem, and prove that a surfaces with negative second Chern number must admit a fibration. Prove that the smooth part of any projective Toric variety over a field with any characteristic is strongly connected.

研究代数曲面纤维化的模不变量，其纤维的陈省身数的性质，应用于研究两个变量的代数微分方程的代数可积性（Poincare问题）。找出一般型代数曲面的自同构群的交换子群的阶的最佳上界。研究曲线模空间中的Teichmuller曲线，证明亏格充分大时，曲线模空间中没有Shimura曲线。研究代数曲面上的特殊线性系的模空间。寻找两个变量的代数函数的黎曼存在定理成立的代数几何条件。证明光滑代数簇的余切丛的正性。研究一般型簇的多典范影射的性态，三维簇的双有理分类。证明如果-K是nef的，则其Albanese映射是光滑的。正特征时，寻找Higgs丛的不稳定性的上界，研究正特征Calabi-Yau流形的切丛的半稳定性，正特征Kawamata-Viehweg消失定理的反例的刻画，证明如果正特征时曲面的第二陈数为负，则曲面上存在一个纤维化，证明任意特征上的Toric簇的光滑部分都是强连通的。

给出了代数曲线束的模不变量的计算公式，推广了小平邦彦关于椭圆曲线束的J-不变量的计算公式，作为应用之一，发现了一阶微分方程的三个双有理不变量，Poincare, Painleve, Darboux曾经试图寻找这样的不变量。作为应用之二，分类了有理直线上奇异纤维个数为2和3的一些纤维化。证实了Viehweg-左康猜测: 当亏格至少为5且所有纤维都是半稳定时，至少有5条奇异纤维的雅可比是非紧的。构造了一些非平凡的例子。建立了高维纤维化的典范类不等式。..在一般型代数簇的分类研究中，完成了Delta指数大于12 的簇的分类。得到了对几何亏格为1，2，3，4的三维簇的典范系列映射的双有理性的刻画条件；证明了一般型三维簇的典范稳定性指数小于或等于57；发现了格兰斯坦极小三维簇的诺特不等式；证明了终极法诺三维簇（相应地，弱法诺三维簇）的第39个（相应地，第97个）反典范映射的稳定双有理性；证明了任意弱法诺三维簇必双有理等价于一个具有52-反典范双有理稳定性的弱法诺模型；在一般型高维（4维以上）代数簇的双有理几何研究上取得突破。通过举例证明了一般型高维簇的典范映射的一般纤维的双有理不变量不具有有界性；证明了大体积的4、5维一般型簇的典范稳定性递归法则。..在正特征代数簇的几何的研究上，完全证明Gieseker猜想。系统研究了强可提升概型的性质，证明在正特征Toric代数簇上，Bott消灭定理、Kawamata-Viehweg消灭定理成立，Hodge to de Rham谱序列在E1处退化；完全解决了藤野-权业猜想。对纤维维数是1的纤维化，或者基域是有限域的代数闭包的三维簇，证实了饭高猜想。.