关于单项式理想组合与几何性质的研究

In this project, we will construct two classes of monomial ideals first, then study the depth and Stanley depth of them. On this basis, we will study the depth and Stanley depth of powers of these monomial ideals mentioned above, and we want to estimate the indexes of depth stability of these two classes of monomial ideals...Furthermore, we will study the Castelnuovo-Mumford regularity of multiplier ideals of the edge ideals of some special graphs. And we want to give upper bounds for the regularity of these multiplier ideals.

在本项目中，我们将先构造两类单项式理想，并研究它们的深度与Stanley深度。在此基础上，我们将研究这两类单项式理想的幂的深度与Stanley深度，并估计它们的深度稳定指数。之后，我们将研究某些特殊图的边理想的乘子理想的Castelnuovo-Mumford正则度，希望给出一个较好的上界。

交换代数是代数几何研究的重要方法之一，对单项式理想的组合与几何性质的研究在交换代数中是非常重要的。本项目主要关注单项式理想的深度、Stanley深度和正则度，并得到了一些结果。..本项目首先构造了两类无平方的单项式理想，给出了商环的深度与Stanley深度的表达式，并验证了这两类理想及其商环都满足Stanley不等式。其次，研究了加权定向图的并所对应的边理想，分情形计算了边理想的幂与形式幂的深度与正则度。..对几何亏格大于6的一般型曲面，得到了其阿贝尔自同构群的最佳上界，解决了一个未解决难题。证明代数曲面的模不变量是微分方程的不变量，从而发现了微分方程的双有理不变量陈省身数。对斜率小于4的微分方程，我们得到了一个亏格不等式，回答了的潘勒维问题。利用不变量，我们对非一般型微分方程解决了庞加莱问题，这是该问题的第一个肯定答案。还解决了亏格1时的潘勒维问题，亏格0时该问题是宫冈在1987年解决的。这一成果为微分方程的双有理分类提供了形的工具。