算子代数分类及其应用

The main goal of this project is to achieve innovative results on the classification of operator algebras and its applications in C*-dynamical system, the theory of operators on function space, etc. As regards the classification of amenable C*-algebras, by proving a sequence of isomorphism theorem, range theorem and homotopy lemma, we extend the scope of classifiable C*-algebras to those of generalized tracial rank or rationalized tracial rank no more than one. We will apply the classification theory to C*-dynamical systems, studying crossed products of more general non-commutative C*-algebras and more general transformation group C*-algebras, and point out the existence of classifiable C*-algebras in the extended scope. We will distinguish minimal diffeomorphisms acting on 5-dimensional and 3-dimensional spheres respectively, and compare cyclic cohomologies arising from dynamical systems of different diffeomorphisms acting on the same differential manifold. As regards the theory of operators on function space, we will introduce the methods of harmonic analysis and complex analysis into the study of behavior of classical Toeplitz operator, Hankel operator, multiplication operator on Bergman space and Hardy space, and boost the study of classification of non-simple C*-algebras including inductive limit of Toeplitz type algebras, etc.

本项目的总体目标是希望在算子代数的结构分类及其在C*-动力系统的应用、函数空间上的算子理论等方面取得创新性的研究成果。在顺从C*-代数的分类方面，通过证明一系列同构定理、范围定理、同伦引理，我们将把可分类C*-代数的范围拓广到广义迹秩或有理化的广义迹秩不超过一的C*-代数。我们将把分类理论应用到C*-动力系统中，研究更一般的非交换C*-代数的交叉积和更一般的变换群C*-代数，指出拓广了的可分类C*-代数的存在性。我们还将区分作用在5维球面的极小微分同胚与作用在3维球面的极小微分同胚的差别，并对同一微分流形的不同微分同胚动力系统产生的循环上同调进行比较。在函数空间的算子理论方面，我们将调和分析和复分析的方法引入到Bergman空间和Hardy空间上的经典Toeplitz算子、Hankel算子、乘法算子表现的研究，并同时推动Toeplitz型代数的归纳极限代数等非单C*-代数同构分类的研究。

本项目在算子代数的结构分类及其在C*-动力系统的应用、函数空间上的算子理论等方面取得创新性的研究成果。我们建立了广义迹秩不超过一的单C*-代数分类理论；完成有理化广义迹秩有限的单C*-代数分类理论；进一步展开一般的C*-代数的分类研究，建立了一类顺从的、满足UCT的非单的C*-代数的分类理论；研究了一类稳定无投影、没有单位元的可分单的C*-代数的本性扩张的分类理论。我们首次揭示了具有迹秩零的C*-代数中正常元的酉轨道的凸包与保单位元保迹的完全正线性映射之间的密切联系，为此类研究提供了新方法和新成果。.我们证明了无限的紧致度量空间上，平均维数为零的极小同胚给出的叉积及变换群C*-代数可以被Elliott不变量分类。研究了光滑叉积，通过计算光滑叉积的循环上同调，得到了用微分结构能够区分一般连续结构不能区分的动力系统，揭示了非交换几何与交换微分几何的本质差别。.我们给出了两个具有调和符号的Toeplitz算子的乘积等于另外一个Toeplitz算子的有限秩扰动问题的完全刻画，并成功解决了Bergman空间版本的Brown–Halmos型问题；给出了Bergman空间上局部可积符号的Toeplitz算子有界性的一个充分条件，该结果是对Taskinen 和J. Virtanen结论的本质改进。我们建立了Bergman空间上具有调和符号的Toeplitz矩阵的行列式理论，给出了Bergman空间版本的第一Szego定理，并且系统地研究了Toeplitz矩阵的渐近可逆性。综合运用双圆盘Hardy空间和Bergman空间上的研究技术，我们研究了Fock空间上两个Hankel算子乘积、Toeplitz算子和Hankel算子乘积的有界性和紧性，彻底解决了Fock空间上Sarason问题。将Hardy空间上Toeplitz算子的研究技巧成功运用于研究多边形区域的Bergman空间上，我们系统地刻画了该空间上乘法算子生成的算子代数及其约化子空间，并揭示了这些乘法算子所生成的von Neumann代数与多边形的几何性质之间的深刻联系。我们证明了在Hardy空间中，存在正交规范基，使得每个解析Toeplitz算子都能够与单位元相连接，并且其道路都在此规范基下表示为下半三角矩阵。