内态MTL-代数簇及其应用研究

MTL-algebras are the algebraic semantics of left-continuous triangular norms based logic MTL. Internal states are the algebraic version of probability models in fuzzy logics. In this project, by discussing internal states on MTL-algebras, we will investigate the variety of MTL-algebras with internal states and establish the logical systems corresponding to the variety of MTL-algebras with internal states. The project is to present a unified algebraic framework for studying probability models in triangular norms based logics. The main research is as follows: Construct equational axioms of internal states on MTL-algebras and provide mutual induction methods between states and internal states on MTL-algebras. Establish corresponding relationships between internal states on MTL-algebras and that on the set of all regular elements and discuss the existence of internal states. Construct the variety of MTL-algebras with internal states, prove the subdirect decomposition theorem for MTL-algebras with internal states and describe all subdirectly irreducible members in the variety of MTL-algebras with internal states. Study the semisimple subvarieties and the lattice of subvarieties of the variety of MTL-algebras with internal states. Also, we will discuss local MTL-algebras with internal states and their subclasses. Establish the logical system corresponding to the variety of MTL-algebras with internal states and prove the soundness and completeness of this logical system. The project will lay algebraic foundations for probability in fuzzy logics and overcome the limitations of states in establishing modal logic systems. Also, it will broaden the range of applications of internal states in fuzzy logics.

MTL-代数是基于左连续三角模的逻辑系统MTL对应的语义代数，内态是模糊逻辑中概率模型的代数化形式。本项目通过探讨MTL-代数上的内态，研究内态MTL-代数簇的结构，构建内态MTL-代数簇对应的逻辑推理系统，旨在将三角模基逻辑中的概率模型纳入统一的代数框架。主要研究包括：建立MTL-代数上内态的等式公理, 给出态和内态的相互诱导方法；研究MTL-代数上内态和正则元之集上内态的对应关系，讨论内态的存在性；构建内态MTL-代数簇，证明内态MTL-代数的次直积表示定理，刻画内态MTL-代数簇中的次直不可约成员；研究内态MTL-代数簇的半单子簇和子簇格，探讨局部内态MTL-代数的结构和分类；构建内态MTL-代数簇对应的逻辑推理系统，证明其可靠性和完备性。本项目将为研究模糊逻辑中的概率问题奠定代数基础，能克服态在建立模态化逻辑系统时的局限性，有助于拓宽内态在模糊逻辑中的应用范围。

MTL-代数是基于左连续三角模的逻辑MTL对应的语义代数，态是经典概率论中Kolmogorov公理在逻辑代数中的公理化推广，它是描述模糊事件概率的理想模型，内态是态的代数化版本。为了将左连续三角模逻辑中的概率模型纳入统一的代数框架，本项目研究了MTL-代数及剩余格上的内态，构建了内态MTL-代数簇的代数结构和逻辑基础，实现了从代数和逻辑两个角度处理态的目的。主要结果包括：（1）研究了MTL-代数上的内态，给出了由内态构造态的方法，建立了内态MTL-代数簇，获得了半单内态IMTL-代数和预线性内态IMTL-代数的次直积表示定理，证明了极大态滤子拓扑空间和素态滤子谱拓扑空间分别是紧的T0空间和紧的Hausdorff空间，证明了内态IMTL-代数中的Pure态滤子和稳定开集是一一对应的；（2）得到了具有内态的非可换剩余格簇，建立了非可换剩余格上态和内态的不动点之集上的态是一一对应的，证明了局部内态剩余格恰能划分为局部有限的、完全的和奇异的三类内态剩余格，证明了内态剩余格的全体态滤子、稳定态滤子和对合态滤子之集分别构成凝聚式的Frame、完备的Heyting代数和完备的Boolean代数，刻画了拓扑剩余格的不同仿拓扑结构，解决了拓扑剩余格中的Borzooei等人提出的两个公开问题，证明了拓扑剩余格范畴是线性拓扑剩余格范畴的反射子范畴；（3）证明了相似MTL-代数对应的逻辑系统--SMTL逻辑的完备性，证明了SMTL逻辑是真值MTL逻辑MTLvt的公理扩张，刻画了可表示的相似MTL-代数，以一阶NM-代数为代数语义，证明了一阶NM逻辑的完备性，为一阶谓词逻辑奠定了代数基础。本研究能为处理三角模逻辑中事件的概率奠定代数基础，有助于拓宽态在模糊逻辑中的应用范围。项目取得了一系列有价值的研究成果，截止目前已在《IEEE Transactions on Fuzzy Systems》（SCI一区Top期刊）、《Fuzzy Sets and Systems》（SCI一区Top期刊）、《Information Sciences》、《Soft Computing》和《Logic Journal of the IGPL》等SCI期刊发表学术论文11篇，受邀在国内国际会议学术报告3次，项目组1人晋升副教授，3人获得博士学位，1人获得硕士学位，超额完成了预期研究目标。