部分矩阵填充与符号模式的若干问题研究

Partial matrices completion and sign patterns, which have both theoretical significance and application value, are basic objects of study in combinatorial matrix theory. Normal matrices and completely positive matrices are two important kinds of matrices, however, their patterns have not been characterized yet. Research on the spectral problems of sign patterns started late, and the 2n conjecture about the spectrally arbitrary sign patterns has been paid much attention to. This project aims to study some problems of partial matrices completion and sign patterns, including:.(1) Completion of partial matrices to normal matrices/completely positive matrices: Characterize the partial matrices such that they can be completed to normal matrices/completely positive matrices. Under the condition that such completions exist, we expect to obtain the general solution of completions..(2) Patterns of normal matrices: Characterize the sign patterns of real normal matrices and the zero-nonzero patterns of complex normal matrices..(3) The structure of spectrally arbitrary sign patterns: Study the combinatorial properties of (minimal) spectrally arbitrary sign patterns, and try to prove or disprove the 2n conjecture..Tools from matrix theory, combinatorics, graph theory, algebra and number theory will be used, and we expect to have new ideas and methods in the research. This project aims to provide theoretical basis as well as technical support for combinatorial matrix theory and related application fields.

部分矩阵的填充和符号模式是组合矩阵论的基本研究对象，既有理论意义又有应用价值。正规矩阵和完全正矩阵作为两类重要的矩阵，它们的模式结构至今都还没有给出统一刻画。符号模式的谱问题的研究起步较晚，其中谱任意符号模式的2n猜想是人们一直关注的。本项目研究部分矩阵填充和符号模式的若干问题，包括：（1）部分矩阵填充为正规矩阵/完全正矩阵：刻画那样的部分矩阵，使其能够填充为正规矩阵/完全正矩阵。在存在填充的前提下，还希望给出填充的通解表达式。（2）正规矩阵的模式：刻画实正规矩阵的符号模式及复正规矩阵的零-非零模式。（3）谱任意符号模式的结构：研究（极小）谱任意符号模式的组合性质，尝试证明或者否定2n猜想。在研究方法上将综合运用矩阵论、组合、图论、代数和数论等工具，期待在研究过程中产生新的思想方法。本项目旨在为组合矩阵论及相关应用领域提供理论依据和技术支持。

部分矩阵填充与符号模式是组合矩阵论的重要论题，既有理论意义又有应用价值。0-1矩阵作为组合矩阵论的另一个基本研究对象，与图论和组合数学紧密相关。乘方最终具有某些性质的矩阵类，是矩阵分析中一个有趣的研究论题。部分矩阵填充为正规矩阵、正规矩阵的符号模式以及正则0-1矩阵类的最小秩问题都具有一定难度，至今还未完全解决。本项目旨在刻画能够填充为正规矩阵的部分矩阵以及正规矩阵可能具有的符号模式，同时研究相关的正则0-1矩阵类的最小秩问题，0-1矩阵和其补矩阵秩的关系，以及刻画乘方最终具有某些性质的矩阵类。研究方法上综合运用了矩阵论、组合、图论、代数和数论等工具。项目组成员经过三年的潜心研究，目前已取得初步成果。主要包括：(1) 确定了某些特殊情形下部分矩阵能够填充为正规矩阵的充要条件；(2) 刻画了取到最小秩精确上界的n阶k-正则0-1矩阵类，并完全确定了n阶4-正则0-1矩阵类的最小秩；(3) 分别刻画了乘方最终为对角矩阵、Toeplitz矩阵、正规矩阵的矩阵类的结构；(4) 确定了一般及对称情形下0-1矩阵秩与补矩阵秩的和、差能够取到的所有值；(5) 确定了给定任意秩的x-y矩阵中元素x或y的所有可能个数。项目负责人公开发表了6篇SCI论文，项目参与人公开发表了2篇SCI论文。本项目的研究成果将为组合矩阵论及相关应用领域提供理论依据和技术支持。