给定最小秩的模式的组合性质研究

The minimum rank problem for patterns, which has both theoretical significance and application value, is an important topic of combinatorial matrix theory. However, this problem has not been completely solved. In fact, if the patterns with a given minimum rank can be characterized, then the problem of determining the minimum rank of a given pattern will be easily solved. In order to characterize the patterns with a given minimum rank, it is needed to start from the study of their combinatorial properties. On this basis, sign patterns and zero-nonzero patterns are discussed respectively in this project. The aim is to determine the possible numbers of zero entries in a pattern with a given minimum rank, and characterize the patterns that attain the extremal numbers. Tools from matrix theory, combinatorics, graph theory and algebra will be used, and we expect to have new ideas and methods in the research. The implementation of this project will provide a new way to solve the minimum rank problem for patterns, enable further development and wider application of minimum rank, and promote the research of related problems.

模式的最小秩问题是组合矩阵论的重要论题，既有理论意义又有应用价值。该问题至今还没有完全解决。事实上，若能刻画出给定最小秩的模式的结构，则求给定模式的最小秩问题就容易解决了。而刻画给定最小秩的模式的结构，需要从研究其组合性质入手。项目以此为基础，分别对符号模式和零-非零模式两种情形进行讨论，目标是确定给定最小秩的模式中零元素的可能个数，并刻画出零元素个数取到最值的模式的结构。在研究方法上将综合运用矩阵论、组合、图论和代数等工具，期待在研究过程中产生新的思想方法。项目的实施为解决模式的最小秩问题提供了一个新思路，使最小秩理论得到进一步发展和更广泛的应用，并对相关问题的研究起到较好的促进作用。

符号模式和零-非零模式的最小秩问题是组合矩阵论的重要论题，既有理论意义又有应用价值。(0,1)-矩阵作为组合矩阵论的另一个基本研究对象，与图论和组合数学紧密相关。模式的最小秩问题和正则(0,1)-矩阵类的最小秩问题都具有一定难度，至今还没有完全解决。本项目旨在刻画给定最小秩的模式的结构，从给定最小秩的模式的组合性质入手研究，同时考虑相关的正则(0,1)-矩阵类的最小秩问题。研究方法上综合运用了矩阵论、组合、图论、代数和数论等工具。项目组成员经过一年的潜心研究，目前已取得初步成果，具体包括：(1) 确定了给定最小秩的符号模式中正负元素的可能个数；(2) 确定了无限域上给定最小秩的零-非零模式中零元素的可能个数；(3) 给出了正则(0,1)-矩阵类的最小秩取到最佳上界的一个充分必要条件；(4) 确定了n阶4-正则(0,1)-矩阵类的最小秩。项目负责人公开发表了一篇SCI论文，项目参与人公开发表了两篇SCI论文。本项目的研究成果将为组合矩阵论及相关应用领域提供理论依据和技术支持。