约束哈密顿系统的辛算法和对称性研究

Symmestry theories of the constraint mechanical systems with non-bizarre Lagrangian which have obtained manyheadwaies.However,the Lagrangians are bizarre in electromagnetic field,regular and irregular fields, Abelian and non-Abelian fields, gyrocenter dynamical ssytem,plasm etc,and we call systems the constraint Hamilton ssytems. In this item,application of Lie group to found the theories of Lie symmetry for constraint Hamilton systems.We also obtain the Noether and non-Noether conserved quantities. According to Darboux's theorem, new normal variable,normalization condition which are derived,and we express constraint Hamilton system the normal Hamilton system.The symplectic method and symplectic simulation are presented. In this work,the cross characteristic of item and preponderance of modern matheathics have been opened, and the method of symmetry of constraint machanical system have been extended and advanced to constraint Hamilton systems. We provide the new technology to solve the problem of modern physics for classical and quantum fields, plasm and 4 kind dynamics of dach other action in bewriting nsture with bizarre Lagrangian.

非奇异Lagrange函数描述的约束力学系统的对称性理论已经取得了许多进展。然而，电磁场、规范场和非规范场、阿贝尔场和非阿贝尔场、导心系统、等离子体中的拉格朗日函数大都是奇异的，这些系统称为约束哈密顿系统（方程非正则）。采用李群方法系统建立约束哈密顿系统的李对称性理论，给出系统存在的诺特和非诺特守恒量，为该系统提出新的对称性解法；根据达伯斯定理，提出新的正则变量，给出正则化条件，将约束哈密顿系统正则化为标准的哈密顿系统（具有辛结构）；采用辛几何方法，给出约束哈密顿系统的辛算法和辛模拟。本项目提出的约束哈密顿系统的精确解法（对称性和守恒量）和数值解法（辛算法和辛模拟），展现了项目的交叉特性和现代数学的优越性，实现了约束力学系统的对称性理论对约束哈密顿系统的推广和提升，为解决用奇异拉格朗日函数描述的经典场和量子场、等离子体以及描述自然界4种相互作用力学的近代物理学问题提供新的技术支撑。

电磁场、经典场和量子场以及自然界中4 种相互作用力的拉格朗日函数大都是奇异的。当在相空间描述时，都归属于约束Hamilton系统，其运动方程为广义的Hamilton正则方程，已不是正则方程，那么，关于Hamilton正则方程的求解法、数值解法已不再适用。本项目研究约束Hamilton系统的辛算法和对称性求解方法。首先从两个途径进行研究，一是引入新的正则变量，给出了新旧正则变量之间的变换矩阵，将广义的Hamilton正则方程正则化，即新变量满足Hamilton正则方程，直接给出了正则化的约束Hamilton系统的辛算法，并给出了正则化的约束Hamilton系统的Noether对称性理论和Lie对称性理论；二是引入Lie群分析方法，建立了约束Hamilton系统的Noether对称性理论，建立了约束Hamilton系统的Lie对称性理论；其次，给出了物理场的Noether对称性和Lie对称性及其存在的守恒量，给出了场论中奇异Lagrange函数的积分因子和守恒量；第三，给出了准坐标下约束Hamilton系统，离散约束Hamilton系统，可控非完整约束Hamilton系统等的Noether对称性和守恒量理论，给出了约束Hamilton系统的Mei对称性摄动和绝热不变量理论；第四，研究了Lie群理论在机械工程和机电耦合系统中的应用：给出了一种压电驱动定位系统的Noether对称性新的快速算法，在精确度和计算速度上都大大优于其它算法，给出了汽车悬架系统，电力变换器，汽车车体振动系统，压电堆叠作动器等的Noether对称性，Lie对称性和相应的守恒量。第五，建立了分数阶约束Hamilton系统的Noether对称性和Lie对称性理论，定义了分数阶因子形式的分数阶导数给出了分数阶约束Hamilton系统的Noether对称性和Lie对称性理论，求解了时间和空间薛定格方程；第六，利用分数阶因子形式的导数定义，给出了分数阶非完整系统和分数阶系统的Noether对称性和Lie对称性理论。引入时间尺度概念，建立了完整保守、非保守系统和非完整系统及变质量系、相对运动系统Noether对称性和Lie对称性理论。本项目得到的正则化方法和对称性理论可以应用于经典场和量子场、量子电动力学，量子味动力学，量子色动力学和广义相对论等近代物理领域。