分数阶约束力学系统的基本框架和对称性理论研究

Application of fractional calculus is a very actively domain in physics,biology, hydrodynamics and complex network，today.It is leading strings on applications of fraction calculus for constraint mechanical ssytems.In item,we obtain the foundation theories of fraction Hamiltonian's principle, fraction Lagrange's equations and fraction Hamiltonian'equations by using fractional calculus.We, introduce the fraction transformation Lie groupand generator operator, and baseding on the invariance of fraction Hamiltonian'act under the infinitesimal transformationof systems, the Noether symmetry and conserved quantities are obtained.Baseding on the invariance of fraction differential equations and constraint conditions of the systems under the infinitesimal transformations, the Lie symmetries and conserved quantities as well as non-Noether symmetries and non-Nether conserved quantities are given for fraction constraint mechanical systems.We study the constraint mechanical systems with small disturb by using the transformation Lie's group, to derive the perturbation of Lie symmetry and adiabation invariants. These are theories of symmetry are applied in mechanics and engineering etc.In the item, we will present the new methods of symmetry,to solve the problems of constraint mechanical systems. A new technology support are also obtained, to apply Lie group in mechanics,physics,life science and engineering technology etc domain.

分数微积分在物理学、生物学、流体力学、复杂网络等领域的应用是当今最热门的课题之一。然而分数微积分在约束力学系统中的应用还处于开始阶段。本项目采用分数微积分给出完整和非完整约束力学系统的哈密顿原理、拉格朗日方程、哈密顿方程，构建其基本理论框架。引入分数阶变换李群和生成元算符，基于分数阶完整和非完整约束力学系统的哈密顿作用量在变换李群下的不变性，给出系统的诺特对称性和守恒量；基于系统分数阶运动微分方程和约束条件等在变换李群下的不变性，给出分数阶约束力学系统的李对称性和诺特守恒量以及非诺特对称性和非诺特守恒量；用变换李群研究带有小扰动的约束力学系统，给出系统的李对称性摄动和绝热不变量理论；研究这些对称性理论在力学和工程中的应用。本项目给出的约束力学系统的基本理论和对称性理论，将为解决约束力学问题提出新的对称性方法，为李群应用于分数阶的力学、物理学、生命科学、工程技术等问题提出新的技术支撑。

现代工程技术领域许多问题归结为分数阶微分方程，如粘弹性问题、控制问题、反常耗散问题，复杂系统的量子演化，流体力学、复杂网络、生物学快速变异等。分数阶问题的物理特性和规律，各种系统的分数阶物理模型的求解是当前的又一重大问题。本项目构筑了分数阶约束力学系统的基本框架，证明了等时变分和分数阶导数之间的交换关系，提出了分数阶非保守、非完整哈密顿系统和拉格朗日系统以及机电耦合系统的达朗伯-拉格朗日原理，建立了相应的分数阶拉格朗日方程，分数阶拉格朗日方程的循环积分公式和罗兹方程，实现了分数阶拉格朗日方程阶的约化；引入分数阶因子和分数阶增量，定义了极限形式的分数阶导数，提出了含有分数阶因子的分数阶完整保守和非保守系统的哈密顿原理，建立了含有分数阶因子的运动微分方程，给出了含有分数阶因子的循环积分、罗兹方程、能量积分和惠特克方程，将分数阶微分方程化为含有分数阶因子的整数阶微分方程。本项目建立分数阶约束力学系统的对称性理论，给出对称性求解方法：建立了分数阶完整、非完整和机电耦合系统的诺特对称性理论，包括正问题和逆问题，构造了该分数阶系统的哈密顿作用量，提出了相应的哈密顿原理，诺特定理和守恒量以及诺特对称性逆问题；建立了分数阶完整和非完整系统的李对称性理论，包括正问题和逆问题，给出该分数阶系统的李对称性确定方程，限制方程和附加限制方程, 李对称性定理和守恒量以及李对称性逆问题；建立了一致分数阶导数和卡普图导数形式约束系统的诺特对称性、李对称性以及非诺特对称性理论，并给出了相应的泊松积分方法；建立了在时间尺度下、含时滞、正则坐标下、最优化控制、离散等情况下的诺特对称性和李对称性理论；将李群引入电力变换器、汽车车体振动、压电堆叠作动器和电子网络等机电耦合系统，给出了对称性解法，本项目建立了一系列约束力学系统的对称性理论，为解决现代工程技术中的分数阶问题提出了新的对称性解法。