随机哈密顿系统伪辛几何算法研究

The stochastic Hamiltonian system is an important component of stochastic mechanical systems, there has been tremendous interest in developing structure-preserving methods for this system during the last few decades. The stochastic symplectic methods became the most important family of conservative numerical integrators, since they can preserve the symplectic structure and allow us to simulate the stochastic Hamiltonian system on a long time interval with high accuracy. However, it is known that all of symplectic methods should be implicit for stochastic Hamiltonian systems except for the systems with special structures, thus more computation complexity will arise and the numerical implementations will be much more difficult. For this, we will propose a new kind of explicit methods called pseudo-symplectic methods, which can preserve the symplectic structure in relatively long time frames with certain accuracy. Firstly, we will construct the pseudo-symplectic numerical schemes for general stochastic Hamiltonian system in the senses of strong and weak convergence separately. Then give the coefficient conditions of the schemes for different convergence order and pseudo-symplectic order, and do research on the construction of high order pseudo-symplectic schemes. Secondly, we will do some theoretical analyses on the properties of pseudo-symplectic methods, mainly focus on the convergence order, the stability in long-time simulation and the abilities of preserving the conservation laws. Finally, we will confirm our theoretical findings through the numerical experiments, and make a comparison between pseudo-symplectic methods and others to verify the practicability and applicability of our methods.

随机哈密顿系统的保结构算法研究是随机数值计算领域的一个重要组成部分。在现有算法中，辛几何算法无论在计算精度还是长时间计算稳定性方面都具有优越的表现。但是，除了针对某些具有特殊形式的随机哈密顿系统外，辛算法全部为隐式方法，相比显式方法具有更高的计算复杂度和实现难度。为此，本项目将提出一类完全显式的近似保持系统辛结构的随机伪辛几何计算方法，并针对该算法展开系统研究。首先，针对一般形式的随机哈密顿系统，分别在强收敛和弱收敛意义下构造伪辛数值格式，给出各类格式在不同的收敛阶和伪辛阶下应该满足的系数条件，并研究高阶伪辛格式的构造方法。其次，对伪辛算法的主要特性进行分析，推导关于该算法的收敛性、稳定性和守恒性的主要理论结果。最后，通过数值实验验证伪辛算法的主要性能，并与其他算法进行对比，总结伪辛算法的实用性和适用性结论，为算法的实际应用和后续改进提供依据。

保结构算法是哈密顿系统数值计算方法中的重要组成部分，因其应用的广泛性而具有较高的研究价值。本课题研究工作一方面针对Stratonovich意义下的一般形式的随机哈密顿系统，在强收敛和弱收敛意义下分别构造了不同类型的伪辛数值格式，如中点格式、梯形格式和伪辛Runge-Kutta格式等。特别的，针对随机非线性薛定谔方程，选择适当的有限维空间截断，使得到的半离散系统成为时间方向上的有限维哈密顿系统。在此基础上，依据不同的辛结构表达式，给出了时间方向上的伪辛数值格式。对于在强收敛和弱收敛意义下建立的各类伪辛数值格式，推导在不同均方阶或弱阶要求下所应该满足的系数条件，建立了收敛性定理及推论。并从理论上分析了不同形式的伪辛数值格式对随机哈密顿系统辛结构和系统守恒量的保持能力。通过数值模拟，验证了伪辛格式的计算精度、长时间计算稳定性以及对系统守恒量的保持能力。随机伪辛方法的提出，不仅为随机哈密顿系统的数值计算方法理论提供了新的思路，更为实际的动力系统计算提供了一类可选择的功能强大的工具。另一方面，针对非光滑非线性薛定谔方程，首次提出能同时保持多个守恒量的数值格式。将含Delta势的非光滑非线性薛定谔方程表述为界面问题，以先时间离散后空间离散的方式，构造了两个守恒型格式。通过引入新的加权技术，从理论上推导了所构造的格式对系统能量和模方的保持能力，并经过数值实验验证了理论分析结果。