时滞微分方程与离散系统的定性理论及其相关问题

时滞微分方程与离散系统的定性理论是微分方程与动力系统领域中十分活跃的研究课题。其中周期解、概周期解、边值问题和分支理论及相关问题更是研究的热点内容。本项目将创造性地提出并应用Minimax理论、几何指标理论、Morse理论及Maslov指标理论等现代数学工具系统地研究时滞微分与离散系统周期解、同宿轨与异宿轨的存在性、多解性以及周期解的最小周期问题；研究概周期微分方程所生成的动力系统的动力学性质，揭示运动规律，分析运动的变化趋势；从分支的角度研究滞量对时滞微分方程轨道变化的影响，得到其轨道的变化规律和奇点附近轨道的拓扑结构；对人口动力学、经济学及自动控制中出现的各类时滞模型的动力学性质从不同角度进行系统的研究，为实际问题提供数学理论依据。这些问题的研究反映了时滞微分方程与离散系统定性理论的前沿状况，涉及到该领域的核心问题，发展新方法，将时滞系统的定性理论研究引向新方向。

本项目对时滞微分方程与离散系统的周期解、概周期解和同宿轨，时滞反应扩散方程的全局动力学性质、行波解与分支问题，以及微分方程理论在种群生态学、分子生物学和传染病动力学等方面的应用进行了深入系统和广泛的研究。建立了新理论，发展了新方法，为解决上述研究领域中的实际问题提供了理论基础。. 具体地说，开展了时滞微分方程，特别是Kaplan-Yorke型时滞微分方程周期解的最小周期问题研究；应用临界点理论中的伪指标理论和Galerkin逼近技巧，彻底解决了高维情形下的Kaplan-Yorke猜测。通过详细分析特征值的分布，给出了中立型微分方程全局Hopf分支的第一个结果；对具时滞和反应扩散项的系统，以滞量为参数，得到了Hopf分支的存在性、发现了Turing不稳定、稳定开关的存在性，导出了决定Hopf分支性质的量的公式；首次从分支的角度研究了偏泛函微分方程周期解大范围存在性；研究了时滞微分方程的高余维分支问题，且得到了某些有实际背景的时滞方程的分支图。 . 建立了分子生物学中多状态基因转录模型和多路径基因转录模型；研究了可诱导基因在负调控机制与内在随机转录机制共同作用下的转录动态；从理论上严格讨论mRNA 概率分布的形态特征及其丰富的动态转换，刻画了基因转录的随机性；在三状态基因转录模型的基础上，计算和分析基因表达的均值、噪声与噪声强度，并讨论它们如何由基因转录的启动、mRNA和蛋白质合成和降解的随机过程等进行调节。. 研究了生态数学模型的行波解存在性问题和非局部时滞反应扩散方程解的全局动力学行为；研究了几类微分方程的拟周期解、概周期解、稳定性、持久性、全局吸引子，线性随机时滞微分方程二阶距的有界性和离散系统与Hamilton系统的同宿解等问题。